¿Cómo valorar el contrato a plazo de divisas con tipos de interés estocásticos?

Question

Imaginemos que el espacio Z está expuesto al riesgo de cambio (es decir, al riesgo de tipo de cambio), y queremos ofrecer una solución de cobertura para ello. Una opción es considerar un contrato de divisas a plazo. Me pregunto cómo puedo derivar el valor del contrato a plazo cuando los tipos nacionales y extranjeros al contado son un proceso estocástico, por ejemplo, siguiendo un modelo de Vasicek. ¿Cómo debo descontar el pago del contrato a plazo para obtener un precio justo? Creo que el precio final debe ser una función del tipo de interés a plazo.

Si mi entendimiento es correcto, para la función de pago, tenemos algo así. Denotemos $S_T$ el tipo de cambio al contado en el momento T, K el tipo de cambio al que cambiamos las divisas. Entonces tenemos que

pago= $S_T - K$

o debería considerar

pago= $S_T -F(t, T)$

donde $F(t, T)$ representa el tipo de cambio a plazo.

Answer 1

Utilizando CCY1CCY2 (por ejemplo, EURUSD cotizado en unidades de moneda nacional por unidad de moneda extranjera. En este caso, el EUR es extranjero y el USD nacional). Para obtener el tipo de cambio FWD al inicio: $$f(s,ccy1,ccy2,t) = s*exp^{(r_{ccy2}-r_{ccy1})*t}$$

• No importa si r es estocástico o no
• nocional en ccy1, y valor/premio en ccy2 (todo lo demás es una transformación como se muestra aquí )

Al iniciarse la FWD, se tiene un valor cero en el tipo de cambio a plazo vigente ( $f(s,ccy1,ccy2,t) = K$ ).

Después, para el Mark to Market, se utiliza ese tipo de cambio y se compara con el tipo de cambio FWD actual en el mercado (o lo que se modele, pero a menos que se sea un creador de mercado, no estoy seguro de cuál será el beneficio de esto). En otras palabras, el valor a plazo observado en t de un contrato FWD con vencimiento en T es simplemente el PV de la diferencia en los precios de las divisas. $$N_{EUR}*(F_t -K)*

Answer 2

Vamos a denotar por:

• $P(s,e)$ el precio del bono de cupón cero en $s$ con madurez $e$
• $d$ y $f$ superíndices: la moneda nacional y la extranjera (de su tipo de cambio).

El contrato a plazo de divisas con el precio de ejercicio $K$ y entrega en $T$ paga la siguiente remuneración en $T$ (en $d$ moneda): $$ Payoff(T) =(S(T) - K) $$ Por lo tanto, su precio en $t$ es la retribución descontada bajo la medida neutral de riesgo (nacional): $$ Price(t) = \mathbb{E} \left[ e^{-\int_t^Tr^d(u)du}(S(T) - K) | \mathcal{F}_t \right] $$ En este caso, es conveniente pasar a la medida T-forward (doméstica) $\mathbb{Q}_T^d$ (asociado a numéraire $P^d(u,T)$ : $$ Price(t) = P^d(t, T) \mathbb{E}^T \left[ S(T) - K | \mathcal{F}_t \right] $$

Ahora, no hay producto dentro de la expectativa, sólo queda el FX dentro. Podemos escribir: $$ S(T) = S(T)\frac{P^f(T, T)}{P^d(T, T)} $$

El numerador es un activo negociable. Así, expresado en el numéraire $P^d(u,T)$ es un $\mathbb{Q}_T^d$ -martingale, y obtenemos: $$ Price(t) = P^d (t, T) \left( S(t)\frac{P^f(t, T)}{P^d(t, T)} - K \right)\\ $$

En términos financieros, este término es lo que se denomina tipo de cambio a plazo: $$ F(t, T) = S(t)\frac{P^f(t, T)}{P^d(t, T)} $$ y el precio del contrato a plazo con strike $K$ es la diferencia de descuento entre este forward de divisas y el strike: $$ Price(t) = P^d(t, T) \left(F(t, T) - K \right) $$