Decisión óptima para una función de utilidad de sustitutos perfectos ?

Question

Dado $u(x_1,x_2)=4x_1+14x_2$ y $m=\frac{1}{2}x_1+\frac{3}{2}x_2$ elegiré la decisión óptima entre:

$a)(2m,\frac{2m}{3})$

$b)(2m,0)$

$c)(\frac{m}{2},0)$

$d)(0,\frac{2m}{3})$

La respuesta correcta es $(d)$

Pero no estoy seguro de cómo encontrar esto, lo que hice: $$m=\frac{1}{2}x_1+\frac{3}{2}x_2 \Leftrightarrow x_2=\frac{2m}{3}-\frac{1}{3}x_1 $$ Y la tasa marginal de sustitución es $-\frac{2}{7}$ así que tenemos..:

Obviamente $a)$ no es la correcta y $c)$ no parece ser la mejor... pero realmente no sé 'cómo pensar', alguna explicación sería genial. Gracias de antemano

Answer 1

El problema de maximización de la utilidad es:

$\max\limits_{(x_1, x_2)\in\mathbb{R}^2_+} 4x_1 + 14x_2 \\ \text{s.t.} \ \ m = \frac{1}{2}x_1 + \frac{3}{2}x_2$

Este problema puede convertirse en un problema de optimización con una sola variable $x_1$ :

$\max\limits_{x_1} 4x_1 + 14\left[\frac{2}{3}\left(m - \frac{1}{2}x_1\right)\right] \\ \text{s.t.} \ \ 0 \leq x_1 \leq 2m$

Diferenciar el objetivo $4x_1 + 14\left[\frac{2}{3}\left(m - \frac{1}{2}x_1\right)\right]$ con respecto a $x_1$ obtenemos $\left(4- \frac{14}{3}\right) = \frac{-2}{3} < 0$ . Así, observamos que el objetivo es decreciente en $x_1$ . Por lo tanto, la elección óptima debe ser la más pequeña $x_1$ podemos tener, por ejemplo $x_1 = 0$ y por lo tanto $x_2 = \frac{2m}{3}$ .

Answer 2

La respuesta a no es posible ya que se reduce a

$m = \frac{1}{2} 2m + \frac{3}{2}\frac{2m}{3} = 2m$

que no tiene sentido. Idem para la respuesta c, $m\neq\frac{1}{4}m$ .

Sigue siendo las respuestas b o d.

Para la respuesta b, tenemos

$u(2m,0)=8m$

y para la respuesta d,

$u(0,\frac{2m}{3}) = \frac{28}{3}m = (9+\frac{1}{3})m$

Como puedes ver, $ (9+\frac{1}{3}) > 8$ .

En el caso general, para encontrar el máximo de su función de utilidad dada una restricción monetaria, se puede formalizar y maximizar lo siguiente Lagrangiano función

$L(x_1,x_2,\lambda)=u(x_1,x_2)+\lambda(m-p_1 x_1 - p_2 x_2)$

donde $p_1$ y $p_2$ son los precios. En su caso, son $\frac{1}{2}$ y $\frac{3}{2}$ respectivamente.

Suite

Como siempre, la historia detrás de las ecuaciones es de primera importancia .

Recuerda que $x_1$ y $x_2$ son dos sustitutos perfectos. Esto significa que el individuo gastará todos sus ingresos en $x_1$ o en $x_2$ y elegirá el bien que le proporcione la mayor utilidad. Y esta es en realidad la historia que cuenta el uso de la función lagrangiana.

Como mencionas en tu comentario más abajo, obtienes condiciones de primer orden que parecen ser contradictorias. Pero no lo son . De hecho, los dos bienes nunca se comprarán simultáneamente. Lo que significa que usted obtendrá $\lambda = 8$ o $\lambda = \frac{28}{3}$ en un mutuamente excluyentes manera.

Recuerde lo que $\lambda$ es : es un precio sombra. En otras palabras, expresa cuánto cuesta su función objetivo, $u(x_1,x_2)$ se incrementará, si su restricción, $m$ , se incrementa en $1$ .

Así, si $m$ aumenta en $1$ y el individuo gasta todos sus ingresos en $x_1$ , $u$ aumentará en $8$ . Si gasta todos sus ingresos en $x_2$ , $u$ aumentará en $\frac{28}{3}$ .

¿Qué bien elegirá el individuo?

Answer 3

En esta pregunta podemos ver que .. Px=1/2 y Py=3/2 Y MRS= 4/14 Px/Py=1/3>4/14(MRS) Entonces, el punto óptimo estará en el eje y y será(0,m/Py) es decir, (0,2m/3).