Veamos qué implica la inferioridad de un bien en el caso de dos bienes. Busque "La estructura de la economía" de Silberberg (que sigue siendo uno de los mejores libros de texto de microeconomía para estudiantes que se han escrito), capítulo 10, para más detalles.
La maximización de la utilidad se describe mediante (las estrellas denotan los niveles óptimos)
$$U_A(A^*,B^*) - \lambda^*p_A \equiv 0$$ $$U_B(A^*,B^*) - \lambda^*p_B \equiv 0$$ $$y- p_AA^* - p_BB^* \equiv 0$$
y nótese el uso del símbolo de identidad en lugar de la simple igualdad -estas relaciones siempre se mantienen en el óptimo. Entonces podemos diferenciar ambos lados y mantener la identidad. Hazlo y resuelve el $3 \times 3$ sistema de ecuaciones para determinar las distintas derivadas, y descubrirá que si es bueno $A$ es inferior, $\frac {\partial A^*}{\partial y} <0$ , entonces debemos tener que
$$p_AU^*_{BB}> p_BU^*_{AB}$$
Si estamos dispuestos a aceptar $U_{BB} >0$ , entonces la cruz-parcial $U_{AB}$ puede ser cero, y podemos tener una función de utilidad como la mencionada en la respuesta de @BKay.
Pero si queremos mantener $U_{BB} <0$ entonces debe ser el caso que $U_{AB}$ la derivada parcial cruzada de la función de utilidad también debe ser estrictamente negativa (y, por tanto, no nula). Esto implica, a su vez, que preferencias que no son separables de forma aditiva o multiplicativa.
Tal vez pueda considerar algo como
$$U(A,B) =\ln\left[aA^k + bB^h\right]$$
y los cuatro parámetros son positivos. Por ejemplo, para los valores $a=5, k=0.4, b=0.2, h=0.8$ el mapa de indiferencia es
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Mi conjetura es que para $0<h<1$ usted puede poder tener toda la configuración estándar junto con la inferioridad de $A$ (y para valores adecuados de los precios y los demás parámetros, por supuesto). Encuentre las condiciones de primer orden, sustituya por $B$ en términos de $A$ en la restricción presupuestaria, y utilizar el teorema de la función implícita para determinar las condiciones de los parámetros necesarios para $\frac {\partial A^*}{\partial y} <0$ . Y no olvides comprobar si estas condiciones son compatibles con las condiciones de segundo orden para la maximización de la utilidad.
COMENTARIO 7 de octubre de 2015
Algunos comentarios de esta respuesta me parecen confundir la cuestión de la representación de las preferencias y la conservación de la clasificación de las mismas bajo transformaciones monótonas, con la propiedad de "inferioridad" de un bien. Las preferencias y su representación no tienen nada que ver con la existencia de una restricción presupuestaria. En cambio, la "inferioridad" tiene todo que ver con la existencia de una restricción presupuestaria, y cómo afecta opciones ( no preferencias) a medida que va cambiando.
Y la transfomación monótona no deja todo "sin cambios". Consideremos la función de utilidad $V = A^k+ B^h$ y su transformación monótona $U =\ln(A^k+ B^h)$ . Uno puede ver fácilmente que mientras $\frac {\partial^2 V}{\partial AB} = 0$ tenemos que $\frac {\partial^2 U}{\partial AB} \neq 0$ . En otras palabras, las transformaciones monótonas pueden preservar el rango de los haces, pero esto no significa que den las mismas relaciones entre bienes. Y como he escrito más arriba, la propiedad de "inferioridad" depende de los signos y magnitudes relativas de las segundas derivadas parciales de la función de utilidad utilizada, signos y magnitudes relativas que dependen de la forma funcional real utilizada.
