VAN de la inversión futura: ¿Dos enfoques?

Question

Supongamos que espero que el rendimiento de mi inversión siga alguna tendencia al alza: $R_t = R_0 e^{\mu t}$ , donde $\mu > 0$ . Si quiero calcular el valor actual de estas entradas, tendría $$ \int_o^\infty R_t e^{-\rho t}dt = \frac{R_0}{\rho - \mu}\ , $$ donde $\rho > \mu$ es el tipo de descuento del proyecto.

Si ahora planteo la pregunta de cuál es el valor actual neto de estas entradas si retraso mi inversión a algún momento futuro $t$ Veo dos posibilidades:

1. El enfoque de "valor presente estricto": $$ \int_t^\infty R_s e^{-\rho s}ds = \frac{R_0 e^{-(\rho-\mu)t}}{\rho - \mu} =\frac{R_t e^{-\rho t}}{\rho - \mu}\ . $$
2. El enfoque "ya está": $$ \left(R_t \int_0^\infty e^{\mu s} e^{-\rho s}ds \right) e^{-\delta t} = \frac{R_t e^{-\delta t}}{\rho - \mu} \ , $$ donde introduzco la tasa libre de riesgo $\delta < \rho$ para descontar al presente.

La razón de ser del primer enfoque debería estar clara. Llegué al segundo preguntando qué es lo que un inversor realmente significa cuando se pregunta si debe retrasar la inversión: en realidad se está situando en el futuro, donde su rendimiento tiene algún valor esperado más alto $R_t$ y luego se integra hasta el infinito de nuevo desde su nuevo " $t=0$ ", pero ahora tiene que descontar por una tasa diferente para traer estos valores al presente.

Estos enfoques son claramente conmensurables si y sólo si $\delta = \rho$ . ¿Hay alguna razón para preferir un enfoque a otro?

Answer 1

Supongamos que se aplica una tasa de descuento constante $\rho$ a su pago de riesgo y a la tasa de descuento $\delta$ a los pagos sin riesgo. El tiempo $t$ el valor de su flujo de pagos es

$$\int_t^{\infty}R_se^{-\rho (s-t)}ds=\frac{R_t}{\rho-\mu},$$

donde se necesita $\rho > \mu$ . En este marco, el tiempo $0$ valor de su inversión es

$$\frac{R_te^{-\delta t}}{\rho-\mu},$$ donde utilicé el hecho de que este valor presente se conoce en el momento $0$ . La fórmula de valoración correcta es la segunda.

Answer 2

La respuesta larga y horrible es que la respuesta estricta depende de la estructura temporal de los tipos de interés. Pero ignoremos eso, en aras de la simplicidad ;-)

También ayuda a demostrar la teoría si se puede asumir que el valor es líquido, porque entonces se puede hacer un argumento de arbitraje. Porque entonces la compra diferida basada en los dividendos/cupones recibidos del año T (el periodo de espera) será el forward del año T. Este forward debe tener un precio, impulsado por la base entre su tasa de crecimiento (Mu) y su tasa de efectivo (Delta). Si el efectivo más el forward no es igual al spot, entonces se produce un abritaje. Al menos en teoría, suponiendo un mercado líquido sin fricciones, etc.

Aunque esto no se cumpla en la realidad, es de esperar que la tasa de descuento pase a ser una función tanto del efectivo como del riesgo. Esto es intuitivo. Al aplazar la compra, el inversor está, después de todo, mezclando el efectivo y los rendimientos de riesgo en su calendario de pagos.

A continuación se muestra un sencillo modelo de mono. Si R1 es 1,00, entonces el precio actual será efectivamente 1/(Rho-Mu) según su primera ecuación. Y si los pagos R crecen en Mu, entonces el mismo Rho producirá un precio futuro de Spot * (1+Mu)^T. El inversor que aplaza recibe rendimientos en efectivo (Delta, en rojo) durante el periodo de aplazamiento. Pero a partir de ese momento, la cantidad de activo de riesgo que puede comprar en el momento T será una función de la base de efectivo:riesgo, por lo que sus valores R después de la compra en el momento T deben ser prorrateados a esto. El cálculo de las TIR de estos valores muestra que la tasa de descuento agregada se desplaza desde Rho hacia Delta, cuanto más se aplaza la compra y, por tanto, se pasa más tiempo manteniendo el efectivo en lugar del activo de riesgo.

Así que la respuesta rápida a tu pregunta es (1) "en algún lugar entre" tus dos ecuaciones. Y para períodos cortos (es decir, un par de años), la diferencia entre ésta y Rho es insignificante. Probablemente una fracción de su error de previsión del valor de Rho mismo ;-)

Answer 3

A pesar de lo que digan los académicos, no existe una tasa libre de riesgo. Ambas fórmulas son, en realidad, la misma fórmula, ya que en ambos casos se está eligiendo un tipo de descuento.

El dinero en efectivo (¿tipo de descuento cero?) puede ser robado... no está libre de riesgo. Los políticos (¿especialmente en Europa?) se apoderan de los depósitos mediante un "bail in" y/o tipos negativos. Los depósitos del mercado monetario o de los bancos solventes tienen riesgos de crédito. Incluso el elixir académico de las letras del Tesoro de EE.UU. tiene riesgos de inflación.

Elija su tipo de descuento y acepte los riesgos que conlleva cada elección. Sus dos fórmulas son iguales