De acuerdo con la Proposición 6.B.2 del MWG, ilustra que la forma de utilidad esperada se conserva sólo mediante una transformación lineal creciente.
¿Cuál es el significado de esta proposición?
La parte que encuentro desafiante al conectar los puntos es cuando justo después de la prueba de esta proposición, los autores afirman que esta proposición nos permite interpretar el significado en diferencias de utilidades. ¿Cómo se conectan exactamente estas dos cosas?
Este es un tema sutil. Cualquier La transformación estrictamente creciente preservará el orden de las loterías. Este es el resultado estándar que dice que la utilidad es sólo una cosa ordinal, realmente no nos importa el nivel de ella.
Por otro lado, hay representaciones de las preferencias de alguien que son más fáciles de trabajar, desde el punto de vista de los cálculos, o que mejoran nuestra comprensión de la economía subyacente del problema. Un ejemplo es cuando tenemos preferencias cuasilineales sobre el bien 1 (ver MWG, capítulo 3 para este ejemplo). Cuando este es el caso, tenemos que $U(x_{1},...,x_{I}) = x_{1} + \phi(x_{2},...,x_{I})$ . Por supuesto, si tomamos, por ejemplo, el exponencial de $U$ conservaremos el orden, pero no esta representación tan útil.
Cuando llega el capítulo 6 y entran en escena las loterías, ocurre lo mismo. La utilidad de uno sobre una lotería (piénsese en ella como una distribución del consumo sobre diferentes escenarios) puede ser una función muy complicada. Tal vez, la utilidad que se obtiene al tener un paraguas si empieza a llover también depende de la utilidad que se obtiene cuando el equipo de fútbol gana y uno no está en casa viendo el partido. La representación de la utilidad V.N.M. es útil precisamente porque separa utilidades de los diferentes escenarios.
Así, cuando se empieza a comparar loterías, el efecto de un aumento de la probabilidad de tener un paraguas cuando llueve en una determinada lotería está completamente aislado del efecto de una mayor probabilidad de otro escenario. Si mantenemos el consumo fijo sobre los escenarios y dejamos que sólo varíe la distribución de probabilidades que describen lo que puede ocurrir, la forma de utilidad V.N.M nos permitirá aislar los efectos de las diferentes probabilidades sobre los escenarios y expresar la diferencia de utilidad total por la diferencia de probabilidades sobre los escenarios entre dos loterías en comparación.
La razón por la que sólo las transformaciones lineales conservan este formato es que la forma de utilidad V.N.M es lineal, por definición, y las transformaciones no lineales de funciones lineales no son lineales. Esto está algo relacionado con la desigualdad de Jensen, desde mi punto de vista (al menos así es como yo intuitivamente interpretar eso).
Espero que esto ayude.
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