Diagrama de fases - modelo de crecimiento

Question

La dinámica del modelo de crecimiento Ramsey-Cass-Koopman suele resumirse en diagramas de fase con las 2 ecuaciones (se aplican los símbolos convencionales): \begin{align*} \frac{\dot c}{c}=&\frac{r-\rho}{\theta}\\ \\ \dot k =& f(k) - (n+g+\delta)k \end{align*}

A partir de estas ecuaciones se calcula el equilibrio y si es una trayectoria de silla de montar.

Sin embargo, este análisis es estático; algunos de esos parámetros varían en el tiempo (por ejemplo, el crecimiento de la población en 1950 no es el mismo que en 2017). ¿Cómo se pueden representar estos cambios en este análisis? estático ¿un marco gráfico?

Answer 1

En la ingeniería de sistemas de control, existía la "Conjetura de Aizerman" (la transliteración de Aizerman varía) que sostenía que un sistema lineal variable en el tiempo era estable si los parámetros (matrices de estado) en todo momento correspondían a sistemas estables. Sin embargo, se encontraron contraejemplos a esta conjetura.

La única manera de demostrar que un sistema variable en el tiempo es estable (por ejemplo) es encontrar una función de Lyapunov que se mantenga en todo momento. Esto suele ser difícil.

Algo como el análisis gráfico sería técnicamente inválido, ya que estás violando supuestos que están en vigor. Tendrás que derivar cualquier resultado a partir de los primeros principios.

Answer 2

Lo que los parámetros variables en el tiempo hacen a un modelo como éste es hacer que el equilibrio a largo plazo deje de ser un punto específico en el diagrama de fases. Los lugares de cambio cero se desplazan y se mueven, al igual que su intersección.

Algo sencillo que se podría hacer, al menos desde un punto de vista pedagógico, es reproducir el efecto de las "rupturas estructurales" y no la variación temporal suave. Así, durante un determinado periodo de tiempo, un parámetro del modelo se fijó en un determinado nivel, pero luego saltó a un nivel diferente (digamos que la depreciación cambió porque antes eran más los edificios y la maquinaria, y ahora son más la informática, el software y los intangibles).

Un cambio tan brusco discretiza esencialmente una variación temporal suave, y es una aproximación aceptable a la misma.

Esto significa que uno dibuja dos pares de loci de cambio cero en el diagrama de fases, uno que representa la situación antes y otro después de la ruptura estructural. Y uno muestra cómo se comporta la economía al saltar de una trayectoria de silla de montar a la otra.

Ver esta entrada de mi blog donde implementé este enfoque para reflejar en términos descriptivos simples la depresión actual de la economía griega.