Sea la función de utilidad $U = a + b \min\{x,y\}$ . Son $x$ y $y$ ¿complementos perfectos?

Question

Es posible tener una transformación monótona en este tipo de función de utilidad, pero ¿qué pasa con $a$ y $b$ ? Normalmente una función con complementos perfectos es $U(x_1, x_2) = \min \{a x_1, b x_2 \}$

Answer 1

Consideremos un coche típico, que está formado por una carrocería (a falta de una palabra mejor) y cuatro neumáticos. Dejemos que $x_1$ denotan el número de carrocerías y $x_2$ denotan el número de neumáticos. La mayoría de los consumidores prefieren los coches en forma de carrocería con cuatro neumáticos, y no en otras combinaciones. Así que podemos representar su preferencia como $$U(x_1,x_2)=\min\{4x_1,x_2\}.\tag{1}$$ Por lo tanto, se prefieren dos coches a un coche se puede expresar como $$ (2,8)\succ(1,4)\quad\Leftrightarrow\quad U(2,8)=8>4=U(1,4). \tag{2} $$ Un coche con dos neumáticos de más no aumenta su utilidad: $$ (1,4)\sim(1,6)\quad\Leftrightarrow\quad U(1,4)=4=4=U(1,6). \tag{3} $$ Ecuación $(1)$ es la función de utilidad asociada a una preferencia de complemento perfecto. En particular, es un caso especial de la forma general $\min\{ax_1,bx_2\}$ donde $a=4$ y $b=1$ .

Apliquemos ahora una transformación afín positiva a $U(x_1,x_2)$ . Para evitar confusiones notacionales, vamos a utilizar $\alpha\in\mathbb R$ y $\beta>0$ como los parámetros: $$ V(x_1,x_2)=\alpha+\beta U(x_1,x_2). $$ Para concretar, supongamos $\alpha=1$ y $\beta=0.5$ . Y podemos comprobar que la preferencia ilustrada en $(2)$ y $(3)$ se conserva: $$ (2,8)\succ(1,4)\quad\Leftrightarrow\quad V(2,8)=5>3=V(1,4). $$ $$ (1,4)\sim(1,6)\quad\Leftrightarrow\quad V(1,4)=3=3=V(1,6). $$

Por lo tanto, mientras $\min\{ax_1,bx_2\}$ representa alguna preferencia de complemento perfecto, su transformación monótona, $\alpha+\beta\min\{ax_1,bx_2\}$ también representa la misma preferencia.

Answer 2

No entiendo su pregunta sobre "qué pasa con $a$ y $b$ ?"

La respuesta a su pregunta en general es sí. Las funciones de utilidad representan las mismas preferencias cuando se transforman monótonamente. Es decir,

Si $u(x)$ representa $\succcurlyeq$ en $X$ , para $x \in X$ entonces para cualquier función estrictamente creciente $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ entonces la función $v(x) = f(u(x))$ también representa $\succcurlyeq$ .

Puedes intentar generalizar este resultado para más dimensiones o lo que sea. Debería ser fácil aplicar este resultado a tu función de utilidad en cuestión.