¿Por qué la interpolación lineal no es adecuada para la construcción de superficies de volatilidad?

Question

Sabemos que la interpolación lineal no es adecuada para construir una superficie, pero ¿por qué?

En el libro, " Valoración de opciones sobre divisas: Una guía para los profesionales ", escribe el autor:

La interpolación lineal nativa con respecto al tiempo puede llevar a una dinámica de volatilidad a futuro poco realista... esto implica una varianza hacia adelante entre ...

No estoy seguro de entender el razonamiento. ¿Por qué la interpolación lineal implica una volatilidad a plazo negativa? ¿Puede alguien dar una explicación mejor? ¿Hay alguna otra razón por la que no se deba utilizar la interpolación lineal simple?

Answer 1

Obsérvese que la varianza total implícita definida como $$ V(T,K) = T\Sigma(T,K)^2 $$ debe ser una función creciente de $T$ . De lo contrario, tienes un arbitraje de calendario (vender la call con vencimiento más corto y comprar la más larga barata).

Si se interpola linealmente la volatilidad implícita es $$ \Sigma(T,K) = w\Sigma(T_i,K) + (1-w)\Sigma(T_{i+1},K) $$ con peso $w = \frac{T_{i+1}-T}{T_{i+1}-T_i}$ . Esto también se puede escribir como $$ \Sigma(T,K) = \Sigma(T_i,K) + s(T-T_i) $$ con pendiente $s = (\Sigma(T_{i+1},K)-\Sigma(T_{i},K))/(T_{i+1}-T_i)$ . Tenga en cuenta que $s$ puede ser negativo, es decir $\Sigma(T_{i+1},K) < \Sigma(T_{i},K)$ incluso en una situación libre de arbitraje: $V(T_{i+1},K) \ge V(T_{i},K)$ .

Ahora sólo hay que comprobar el arbitraje del calendario: $$ \partial_T V(T,K) \geq 0 $$ Un simple cálculo te mostrará que la lhs es un polinomio de 2º orden en $T$ y que puede volverse negativo.

Answer 2

Implica un avance negativo desviación . Tengo el libro, y revisé la sección que sigue a su cita. En términos matemáticos, está haciendo una prueba por contradicción. Primero asume que puede interpolar Iinearly, y llega a la conclusión de que no es una buena suposición. El argumento implica algunos cálculos. No creo que tenga una explicación mejor, así que hazme saber si tienes alguna pregunta sobre su argumento.