¿Por qué se asume a menudo que las funciones de costos son convexas en microeconomía?

Question

¿Por qué se asume típicamente que las funciones de costos son convexas en la teoría del productor de (introducción a) microeconomía?

Para mí, esto va en contra de la intuición de economías de escala. Hay costos fijos (CF) que contribuyen a la concavidad de la función de costos. También hay costos variables (CV) que pueden ser cóncavos, lineales o convexos. Si estamos en la parte cóncava de CV, los costos totales (CT) también deben ser cóncavos debido a que tanto CF como CV son cóncavos. Si estamos en la parte lineal de CV, los CT vuelven a ser cóncavos debido a la concavidad de CF. Y si estamos en la parte convexa de CV, los CT pueden ser cóncavos, lineales o convexos dependiendo de la influencia/peso relativo de CF y CV en/ en CT. Sin embargo, incluso en el caso de que CT sea convexo, el productor no tiene que operar de esa manera. Más bien, puede operar múltiples copias de su instalación de producción cada una en el nivel donde CT es cóncavo o lineal para asegurar que los CT agregados en todas las instalaciones de producción nunca sean convexos.

Veo una razón por la cual podría ocurrir la convexidad. Es si los recursos se vuelven escasos y el productor es lo suficientemente grande como para influir en los precios en los mercados de insumos. Sin embargo, se asume que los productores son pequeños en la competencia perfecta, pero sus funciones de costos se asumen como convexas. Esto me parece contradictorio. Entonces, ¿qué estoy dejando de ver?

*El hecho de que CF se incurran con cada copia de la instalación de producción podría hacer que esta sea una estrategia pobre o no, dependiendo del peso relativo de CF y CV.
**Creo que tomé la idea de este argumento de Varian "Análisis Microeconómico". En la tercera edición, Sección 5.2 "La geometría de los costos" p. 68 dice:

En el largo plazo todos los costos son costos variables; en tales circunstancias, aumentar los costos promedio parece poco razonable ya que una empresa siempre podría replicar su proceso de producción. Por lo tanto, las posibilidades razonables a largo plazo deberían ser costos promedio constantes o decrecientes.

La función de costos también se muestra como cóncava en la sección subsequente 5.4 "Precios de los factores y funciones de costos".

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Editar: ¡Gracias por todas las excelentes respuestas! Parece que podemos tener diferentes historias plausibles con implicaciones opuestas. Hasta ahora parece que se puede argumentar plausiblemente tanto a favor de costos convexos como cóncavos. La cuestión clave se convierte en las suposiciones necesarias para hacer una historia más plausible que la otra. Así que la pregunta es, cuáles son las suposiciones necesarias para hacer los costos convexos plausibles (e implausibles los costos cóncavos) en la microeconomía introductoria?

Answer 1

Hay varias razones:

1. Razones didácticas: Otros usuarios parecen haberlo pasado por alto, pero en tu pregunta especificas que estás hablando de "(introductorio) microeconomía" [énfasis mío].

   Bueno, la respuesta más prosaica es simplemente que es mucho más fácil resolver la minimización de costos, u otros modelos cuando se asume que los costos son convexos.

   En esto radica una razón suficiente para construir problemas con funciones de costos convexas en cursos introductorios de microeconomía. La demanda y la oferta no son lineales, sin embargo, la mayoría de los libros de texto y problemas introductorios asumen que lo son. Además, en la vida real la demanda a veces incluso puede ser creciente si un bien es un bien de Giffen, y la oferta puede ser realmente decreciente (por ejemplo, la oferta de algún trabajo en algunos casos especiales dependiendo de la preferencia de las personas entre el consumo y el ocio). Sin embargo, los libros de texto introductorios típicamente muestran demanda decreciente y oferta creciente (por ejemplo, ver Principios de Economía de Mankiw que discute estos conceptos pero solo brevemente, o libros de microeconomía más estrechos como Microeconomía y Comportamiento de Frank).

   Esto se debe en gran medida a razones didácticas. Es mucho mejor para los estudiantes dominar primero los conceptos básicos con modelos simples y cuando se trata de aprender sobre costos, tener funciones de costos cóncavas con un mínimo único facilita el aprendizaje en lugar de tener que enseñar la minimización de costos con curvas de costos cóncavas. Por lo tanto, incluso si empíricamente la mayoría de las curvas de costos serían cóncavas y no convexas, sería una práctica de enseñanza muy mala comenzar con funciones cóncavas (o simplemente optar por un realismo total donde las funciones de costos podrían ser por partes, tener diferentes concavidades/convexidades en diferentes puntos, estar mal definidas en algún lugar, etc).

2. Debido a los rendimientos decrecientes a escala - Esto fue cubierto en gran detalle por Bayesian, pero permíteme añadir más argumentos y también refutar algunos de tus argumentos en la pregunta.

   Primero, no es irrazonable asumir que los costos son convexos a largo plazo. En un mundo de escasez, una empresa no puede aumentar indefinidamente su demanda de factores de producción sin afectar también los costos de estos factores o insumos, sus precios aumentarán eventualmente (ceteris paribus). Tenemos evidencia clara de que los salarios aumentan en mercados laborales ajustados, o que hablando en general un cambio en la demanda hacia la derecha (ceteris paribus) aumenta los precios. Argumentas que en los modelos de competencia perfecta se asume que las empresas son pequeñas, pero ese no es un buen argumento en este caso. Esto se debe a que se asume que las empresas son demasiado pequeñas en términos de que su producción pueda afectar el precio de mercado de su producción por lo que el precio de la producción se puede tomar como dado (Ver Microeconomía y Comportamiento de Frank pp 337). La competencia perfecta no requiere que el precio de los insumos se tome como dado. De hecho, una empresa puede operar en un mercado perfectamente competitivo mientras enfrenta un mercado de factores monopolísticamente competitivo (donde la empresa es consumidora y no productora).

   Luego, argumentas que gracias a los costos fijos algunas empresas podrían simplemente invertir continuamente en nuevas fábricas, pero este argumento debería ser falso. Un costo fijo por definición no puede variar con la producción. Si una empresa aumenta la producción construyendo una nueva fábrica, el costo de la fábrica deja de ser costos fijos. De hecho, los costos fijos existen principalmente en el corto plazo ya que a largo plazo la mayoría de los costos son variables (ver Principios de economía de Mankiw pp 260). A medida que intentas construir más y más fábricas te encuentras con los mismos problemas de escasez de tierra, capital y trabajo y por lo tanto subes sus precios. De hecho, esto se visualiza y explica muy bien en el libro de texto de Mankiw en la imagen a continuación:

Empíricamente, observamos que muchas industrias tienen rendimientos decrecientes a escala (aunque los rendimientos constantes a escala también son comunes), y los rendimientos crecientes a escala son raros (aunque no completamente poco comunes). Ver por ejemplo: Basu & Fernald, 1997; Gao & Kehrig 2017.

Los textos introductorios por naturaleza no tratarán casos específicos sino más generales. La mayoría de los libros de texto introductorios nuevamente no dedican mucho tiempo a los bienes de Giffen no solo porque modelarlos sería difícil para los estudiantes de nivel 101, sino también porque no se ven muy a menudo (aunque, no estoy diciendo que las funciones de costos no convexas sean tan raras como los bienes de Giffen).

3. En cuanto a la estética: Creo que Giskard plantea un punto válido de que probablemente haya muchos economistas que asuman costos convexos solo por elegancia matemática. Sin embargo:

   • Creo que Giskard exagera ligeramente el problema y es un poco demasiado cínico al respecto. Seguramente hay economistas que valoran la elegancia matemática sobre todas las cosas, pero hay una tendencia creciente en la proporción de trabajos empíricos (ver Angrist et al 2017), incluso en microeconomía, y creo que una explicación no cínica razonable para la pequeña proporción de trabajos empíricos de micro es que hasta hace muy poco siempre faltaba buenos datos micro (además de que esto también se debe a la descomposición, se puede ver que la proporción de trabajos empíricos de organización industrial (que también utilizan fuertemente funciones de costos) es bastante alta).

   • Empíricamente, la mayoría de las industrias no muestran rendimientos crecientes a escala. Si bien las funciones no convexas son definitivamente reales (especialmente en algunos puntos de la curva de costos), la evidencia empírica muestra que los rendimientos decrecientes a escala (aunque también los rendimientos constantes a escala) son bastante comunes (por ejemplo, ver Basu & Fernald, 1997; Gao & Kehrig 2017), pero creo que Giskard tiene un punto válido al señalar que algunos modeladores ignorarán lo empírico por la elegancia matemática.

   • Por último, pero no menos importante, creo que la elegancia matemática puede explicar por qué tal suposición figura fuertemente en algún trabajo teórico publicado, pero no creo que pueda explicar por qué está presente en los textos introductorios de micro. ¿Es realmente elegante matemáticamente la función del costo cuadrático $c=q^2$? No lo creo, pero probablemente sea la función de costo más comúnmente utilizada que verás en los textos introductorios.

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Respecto a la cita de Varian. Varian en la página 67 afirma que primero cubrirá la situación con costos de factor fijo y luego pasará a costos de factor variable. Por lo tanto, a menos que esté leyendo mal a Varian, creo que la afirmación en la página 68 se hace bajo el supuesto de precios constantes de los factores. Sin embargo, la explicación anterior de Mankiw no asume eso.

Answer 2

Teóricamente, la función de costo es el resultado de un problema de minimización de costos con una tecnología de producción dada. Los costos convexos/lineales/cóncavos son el resultado de rendimientos a escala decrecientes/constantes/crecientes. La idea detrás de los costos convexos es la disminución del producto marginal de tus bienes de entrada para la producción.

Como ejemplo del tipo de pensamiento detrás de una función de costos convexa: Si deseas producir un widget, puedes hacerlo con los 3 trabajadores más capacitados de la ciudad. Si deseas producir dos widgets, puedes hacerlo con los 7 trabajadores más capacitados de la ciudad porque los 4 adicionales son más lentos. Alternativamente, todos los trabajadores tienen la misma productividad pero primero tomas los más baratos y los siguientes sólo trabajan por más dinero. O consideras las horas trabajadas: Un trabajador puede producir un bien en tres horas, pero el segundo tarda cuatro horas porque el trabajo es agotador. De manera similar, las primeras horas se pagan con contrato regular mientras que las horas extras necesitan compensación adicional. O necesitas madera para la producción. Para los primeros bienes puedes cortar madera en tu propio bosque, pero una vez que necesitas más, debes encontrar fuentes adicionales más caras. Y así sucesivamente.

Recuerda que la curva de oferta es la parte creciente de la curva de costo marginal. La curva de oferta en Econ 101 tiene pendiente ascendente debido a la intuición anterior. Puede ser que haya rendimientos crecientes a escala, por ejemplo porque los trabajadores pueden dividir trabajos y hay ganancias por especialización. Sin embargo, eventualmente asumimos que esas ganancias llegan a su fin en algún punto a medida que los rendimientos marginales disminuyen.

A continuación, y no es una buena razón, ten en cuenta que un monopolista produce de manera óptima una cantidad de manera que el ingreso marginal - costo marginal = 0. Los costos convexos aseguran que esto sea de hecho un máximo.

Answer 3

Si la función de coste es globalmente cóncava en la producción $y$, entonces

• la función de beneficio es convexa en $y$ y la producción óptima (maximizadora de beneficios) no se caracteriza por la igualdad entre el precio y el costo marginal, por lo tanto, las empresas tomadoras de precios tienen un nivel de producción óptimo que es o bien 0 o tiende a infinito
• el beneficio es negativo al menos para niveles bajos de producción (si $c'(0)>p$)

Tal asunción de concavidad tendrá dificultades para explicar por qué alrededor del 60% de las empresas producen menos del 5% del total de la producción.
Por estas razones, las funciones de coste probablemente no sean cóncavas (globalmente), a menos que sean para empresas con un fuerte poder de mercado... En cambio, es bastante plausible que la función de coste sea localmente convexa y presente no convexidades aquí y allá.

Answer 4

Los costos crecientes y convexos son el resultado de rendimientos decrecientes a escala. Principalmente se deben a la disponibilidad limitada de factores de entrada (locales). Otros factores que contribuyen son el declive de la eficiencia de gestión de la producción a gran escala, la imperfección de los mecanismos internos de supervisión y control, y una transmisión de información más compleja.

Answer 5

En mi experiencia empírica muy limitada, parecía que las funciones de costo eran de hecho no convexas para la mayoría de los niveles de producción en las pocas industrias que observé. Asignar costos a partes exactas de un proceso es muy difícil, pero los costos marginales generalmente se asumían ser constantes, con algunos saltos cuando se alcanzaban las restricciones de capacidad.

Los teoremas en microeconomía/teoría del equilibrio general que tratan sobre la existencia de soluciones a problemas de maximización de beneficios, la existencia de equilibrios competitivos y la eficiencia de Pareto de estos equilibrios son apreciados por su elegancia matemática. Sin embargo, se basan en un conjunto de suposiciones de convexidad o concavidad. (La rama de las matemáticas utilizada es el análisis convexo.)

Por lo tanto, estas suposiciones están más dictadas por el deseo de soluciones teóricas elegantes que por el conocimiento empírico.

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Se debe tener en cuenta que existen muchas posibles justificaciones de por qué las funciones de costo pueden ser convexas, algunas (interesantes) se detallan en las otras respuestas. Yo argumentaría que estas son principalmente racionalizaciones de la suposición, no pruebas de su validez empírica. Para ser justos, tampoco proporciono pruebas empíricas.