Cobertura de opciones de bonos

Question

(Mi pregunta)

Por favor, muéstrame cómo resolver de (2) a (4) con procesos de cálculo. Son muy difíciles de resolver.

Gracias por su ayuda de antemano.

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(Enlace cruzado)

He publicado la misma pregunta en https://math.stackexchange.com/questions/3347148/bond-option-hedging/3349320#3349320

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(Preguntas originales)

Ejercicio 7.4 Cobertura de opciones sobre bonos

Considere una cartera $(\xi^T_t, \xi^S_t)_{t \in [0, T]}$ compuesto por dos bonos con vencimiento $T$ , S, y el valor \begin{eqnarray} V_t=\xi^T_t P(t, T) + \xi^S_t P(t, S) \end{eqnarray} en el momento $t$ y se supone que cubre el pago de la opción de compra del bono $( P(T, S) - \kappa )^+$ , por lo que tenemos \begin{eqnarray} V_t &=& E \left[ \exp \left( - \int^T_t r_s ds \right) \cdot ( P(T, S) - \kappa )^+ \middle| \mathcal{F}_t \right] \\ &=& P(t, T) E^{ \tilde{\mathbb{P}} } \left[ ( P(T, S) - \kappa )^+ \middle| \mathcal{F}_t \right] \end{eqnarray}

(1) Supongamos que $( \sigma^T_t)_{t \in [0, T]}$ y $( \sigma^S_t)_{t \in [0, S]}$ son funciones deterministas, demuestre que el precio de una opción sobre un bono con strike $\kappa$ puede escribirse como \begin{eqnarray} && E \left[ \exp \left( - \int^T_t r_s ds \right) \cdot ( P(T, S) - \kappa )^+ \middle| \mathcal{F}_t \right] \nonumber \\ && \qquad \qquad = P(t, T) E^{ \tilde{\mathbb{P}} } \left[ ( P(T, S) - \kappa )^+ \middle| \mathcal{F}_t \right] \\ && \qquad \qquad = P(t, T) C(X_t, \kappa, v(t, T) ) \\ && \qquad \qquad = P(t, T) C(X_t, \kappa, \sigma) \end{eqnarray} donde $X_t$ es el precio a plazo $X_t \equiv P(t, S)/P(t, T)$ , \begin{eqnarray} v^2(t, T) = \int^T_t \left( \sigma^S_u - \sigma^T_u \right)^2 du \end{eqnarray} y $C(X_t, \kappa, \sigma)$ es una función por determinar. Recordemos que si $X$ es una variable aleatoria gaussiana centrada con media $m_t$ y la varianza $v^2_t$ dado $\mathcal{F}_t$ tenemos \begin{eqnarray} E \left[ \left( e^X - K \right)^+ | \mathcal{F}_t \right] &=& e^{ m_t + v^2_t /2 } N \left( \frac{v_t}{2} + \frac{1}{v_t} \left( m_t + \frac{v^2_t}{2} - \log K \right) \right) \nonumber \\ && \qquad - K N \left( - \frac{v_t}{2} + \frac{1}{v_t} \left( m_t + \frac{v^2_t}{2} - \log K \right) \right) \end{eqnarray} donde $N(x)$ , $x \in \mathbb{R}$ denota la función de distribución gaussiana, véase el lema 2.3.

(2) Suponemos que la cartera $(\xi^T_t, \xi^S_t)_{t \in [0, T]}$ se autofinancia, es decir \begin{eqnarray} dV_t=\xi^T_t dP(t, T) + \xi^S_t dP(t, S) \end{eqnarray} Demuestre que el precio de la cartera a plazo $\hat{V_t} \equiv V_t/P(t, T)$ satisface

\begin{eqnarray} d\hat{V_t}=\frac{ \partial C(X_t, \kappa, v(t, T) ) }{ \partial x } d X_t. \end{eqnarray}

(3) Demuestre que tenemos \begin{eqnarray} dV_t &=& \left( \hat{V_t} - \frac{ P(t, S) }{ P(t, T) } \frac{ \partial C( X_t, \kappa, v(t, T) ) }{ \partial x } \right) dP(t, T) \nonumber \\ && + \frac{ \partial C(X_t, \kappa, v(t, T) ) }{ \partial x } dP(t, S) \end{eqnarray}

(4) Calcular la estrategia de la cartera de cobertura $(\xi^T_t, \xi^S_t)_{t \in [0, T]}$ de la opción de compra de bonos en $P(T, S)$ .

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(1) Mi respuesta

• Esta dinámica de $dP(t, T)$ utiliza $\sigma^T_t$ como su volatilidad en lugar de $\zeta^T_t$ en la página de texto 89. A saber, la dinámica de $dP(t, T)$ es un mismo tipo del Ejercicio 7.3. Por lo tanto, recuerde el resultado del Ejercicio 7.3.(1). Por otra parte, recuerde los resultados del Ejercicio 4.3.(5). Además, $d B^T_t = d B_t - \sigma^T_t dt $ . O bien, recuerde el ejercicio 7.1.(4) y el ejercicio 7.1.(7). El ejercicio 7.1 utiliza $\zeta_t$ en lugar de $\zeta^T_t$ como la volatilidad en su dinámica de $dP(t, T)$ . \begin{eqnarray} \frac{ dP(t, T)}{P(t, T)} &=& r_t dt + \sigma^T_t dB_t \\ \frac{P(T, S)}{P(T, T)}&=&\frac{P(t, S)}{P(t, T)} \exp \left( \int^T_t \left( \sigma^S_u - \sigma^T_u \right) d B^T_u \right) \nonumber \\ && \qquad \qquad \cdot \exp \left( - \frac{1}{2} \int^T_t \left( \sigma^S_u -\sigma^T_u \right)^2 du \right) \\ P(T, S)&=&\frac{P(t, S)}{P(t, T)} \exp \left( \int^T_t \left( \sigma^S_u - \sigma^T_u \right) d B^T_u \right) \nonumber \\ && \qquad \qquad \cdot \exp \left( - \frac{1}{2} \int^T_t \left( \sigma^S_u -\sigma^T_u \right)^2 du \right) \end{eqnarray}

• Dejemos que $m(t, T)$ y $v^2(t, T)$ como el siguiente. \begin{eqnarray} m(t, T) &=& \log \frac{P(t, S)}{P(t, T)} - \frac{1}{2} \int^T_t \left( \sigma^S_u -\sigma^T_u \right)^2 du \\ v^2(t, T) &=& \left( \int^T_t \left( \sigma^S_u - \sigma^T_u \right) d B^T_u \right)^2 \\ &=& \int^T_t \left( \sigma^S_u - \sigma^T_u \right)^2 du \\ m(t, T) + \frac{ v^2(t, T) }{2} &=& \log \frac{P(t, S)}{P(t, T)} \end{eqnarray}

• Sustituye el resultado anterior en el valor de la expectativa. \begin{eqnarray} && E \left[ \exp \left( - \int^T_t r_s ds \right) \cdot ( P(T, S) - \kappa )^+ \middle| \mathcal{F}_t \right] \nonumber \\ && \qquad \qquad = E^{ \tilde{\mathbb{P}} } \left[ \frac{ P(t, T) }{ P(t, T) } \exp \left( - \int^T_t r_s ds \right) \cdot ( P(T, S) - \kappa )^+ \middle| \mathcal{F}_t \right] \\ && \qquad \qquad = P(t, T) E^{ \tilde{\mathbb{P}} } \left[ \frac{ 1 }{ P(T, T) } ( P(T, S) - \kappa )^+ \middle| \mathcal{F}_t \right] \\ && \qquad \qquad = P(t, T) E^{ \tilde{\mathbb{P}} } \left[ ( P(T, S) - \kappa )^+ \middle| \mathcal{F}_t \right] \end{eqnarray}

• Recordemos el resultado del ejercicio 7.1.(7). Aquí, dejemos que $m(t, T) =m$ , $v(t, T)=v$ y $\kappa=K$ . \begin{eqnarray} && E^{\mathbb{P}} \left[ \exp \left(- \int^T_t r_s ds \right) \cdot ( P(T,S) - K )^+ \middle| \mathcal{F}_t \right] \nonumber \\ && \quad = P(t, T) e^{m+ v^2/2} N\left( v + \frac{m - \log K}{v} \right) -P(t, T) K N\left( \frac{m - \log K}{v} \right) \\ && \quad = P(t, T) \frac{P(t,S) }{P(t,T)} N\left( v - \frac{v}{2} + \frac{1}{v} \log \frac{P(t,S) }{K \ P(t,T)} \right) \nonumber \\ && \qquad -P(t, T) K N\left( - \frac{v}{2} + \frac{1}{v} \log \frac{P(t,S) }{K \ P(t,T)}\right) \\ && \quad = P(t,S) N\left( \frac{v}{2} + \frac{1}{v} \log \frac{P(t,S) }{K \ P(t,T)} \right) \nonumber \\ && \qquad -P(t, T) K N\left( - \frac{v}{2} + \frac{1}{v} \log \frac{P(t,S) }{K \ P(t,T)}\right) \\ && \quad = P(t, T) \frac{ P(t,S) }{ P(t, T) } N\left( \frac{v}{2} + \frac{1}{v} \log \frac{P(t,S) }{K \ P(t,T)} \right) \nonumber \\ && \qquad -P(t, T) K N\left( - \frac{v}{2} + \frac{1}{v} \log \frac{P(t,S) }{K \ P(t,T)}\right) \\ && \quad = P(t, T) C\left( \frac{ P(t,S) }{ P(t, T) } , K, v \right) \\ && \quad = P(t, T) C(X_t, \kappa, v(t, T) ) \\ && \quad = P(t, T) C(X_t, \kappa, \sigma) \end{eqnarray}

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(2) ??? ¡Esto es demasiado difícil de resolver!

Gracias por su ayuda de antemano.

Answer 1

¡He resuelto de (2) a (4) por mí mismo!

(2) Mi respuesta

• Utilice el resultado de (1) teniendo en cuenta que el siguiente R.H.S es $\mathcal{F}_t $ medible. \begin{eqnarray} V_t &=& E^{\mathbb{P}} \left[ \exp \left(- \int^T_t r_s ds \right) \cdot ( P(T,S) - K )^+ \middle| \mathcal{F}_t \right] \\ &=& P(t, T) E^{ \tilde{\mathbb{P}} } \left[ ( P(T, S) - \kappa )^+ \middle| \mathcal{F}_t \right] \\ &=& P(t, T) C(X_t, \kappa, v(t, T) ) \end{eqnarray}

• Por lo tanto, \begin{eqnarray} \hat{ V_t }&=& \frac{ V_t }{P(t, T)} \\ &=& E^{ \tilde{\mathbb{P}} } \left[ ( P(T, S) - \kappa )^+ \middle| \mathcal{F}_t \right] \\ &=& C(X_t, \kappa, v(t, T) ) \end{eqnarray}

• En primer lugar, utilícelo $\hat{o}$ La fórmula de L.H.S. \begin{eqnarray} d \hat{ V_t }&=& 0 \ dt + d \hat{ V_t } + \frac{1}{2} \ 0 \ d [ \hat{ V_t }] \\ &=& d \hat{ V_t } \end{eqnarray}

• En segundo lugar, recordemos el resultado de (1), $C(X_t, \kappa, v(t, T) ) $ . \begin{eqnarray} C(X_t, \kappa, v(t, T) ) &=& \frac{ P(t,S) }{ P(t, T) } N\left( \frac{v}{2} + \frac{1}{v} \log \frac{P(t,S) }{\kappa \ P(t,T)} \right) \nonumber \\ && \qquad - \kappa N\left( - \frac{v}{2} + \frac{1}{v} \log \frac{P(t,S) }{\kappa\ P(t,T)}\right) \\ &=& X_t N\left( \frac{v}{2} + \frac{1}{v} \log \frac{X_t}{\kappa } \right) \nonumber \\ && \qquad - \kappa N\left( - \frac{v}{2} + \frac{1}{v} \log \frac{X_t }{\kappa }\right) \end{eqnarray}

• Tercero, utilícelo $\hat{o}$ La fórmula de la R.H.S. \begin{eqnarray} d C(X_s, \kappa, v(s, T) ) &=& 0 \ ds + \partial_x C(X_s, \kappa, v(s, T) ) dX_s + \frac{1}{2} \ 0 \ d [ X_s ] \\ \int^t_0 d C(X_s, \kappa, v(s, T) ) &=& \int^t_0 \partial_x C(X_s, \kappa, v(s, T) ) dX_s \\ C(X_t, \kappa, v(t, T) ) &=& C(X_0, \kappa, v(0, T) ) \nonumber \\ && \qquad+ \int^t_0 \partial_x C(X_s, \kappa, v(s, T) ) dX_s \\ &=& E^{ \tilde{\mathbb{P}} } \left[ ( P(T, S) - \kappa )^+ \middle| \mathcal{F}_t \right] \nonumber \\ && \qquad + \int^t_0 \partial_x C(X_s, \kappa, v(s, T) ) dX_s \end{eqnarray}

• Sustituya el resultado anterior en $\hat{ V_t }$ . \begin{eqnarray} \hat{ V_t }&=&C(X_t, \kappa, v(t, T) ) \\ &=& E^{ \tilde{\mathbb{P}} } \left[ ( P(T, S) - \kappa )^+ \middle| \mathcal{F}_t \right] + \int^t_0 \partial_x C(X_s, \kappa, v(s, T) ) dX_s \end{eqnarray}

• Además, \begin{eqnarray} E^{ \tilde{\mathbb{P}} } \left[ ( P(T, S) - \kappa )^+ \middle| \mathcal{F}_t \right] &=& E^{ \tilde{\mathbb{P}} } \left[ ( P(T, S) - \kappa )^+ \middle| \mathcal{F}_t \right] \nonumber \\ && \qquad + \int^t_0 \partial_x C(X_s, \kappa, v(s, T) ) dX_s \\ \int^t_0 \partial_x C(X_s, \kappa, v(s, T) ) dX_s &=&0 \end{eqnarray}

• Por lo tanto, \begin{eqnarray} \hat{ V_t }&=&C(X_t, \kappa, v(t, T) ) \\ &=& E^{ \tilde{\mathbb{P}} } \left[ ( P(T, S) - \kappa )^+ \middle| \mathcal{F}_t \right] \end{eqnarray}

• Por otro lado, por lo tanto, \begin{eqnarray} \hat{ V_t } &=& C(X_t, \kappa, v(t, T) ) \\ d \hat{ V_t } &=& d C(X_t, \kappa, v(t, T) ) \\ &=& \partial_x C(X_t, \kappa, v(t, T) ) dX_t \end{eqnarray}

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(3) Mi respuesta

• Utilizarlo $\hat{o}$ de la fórmula. \begin{eqnarray} d V_t &=& d (P(t, T) \cdot \hat{ V_t } ) \\ &=& \partial_t (P(t, T) \cdot \hat{ V_t } ) dt \nonumber \\ && \quad + \hat{ V_t } \partial_x P(t, T) |_{x=P(t,T)} dP(t,T) + P(t, T) \partial_y \hat{ V_t } |_{y=\hat{ V_t } } d \hat{ V_t } \nonumber \\ && \quad + \frac{1}{2} \hat{ V_t } \partial_{xx} P(t, T) |_{x=P(t,T)} d[ P(t,T) ] + \frac{1}{2} P(t,T) \partial_{yy} \hat{ V_t } |_{y=\hat{ V_t }} d[ \hat{ V_t } ] \nonumber \\ && \quad + \frac{1}{2} \partial_{xy} (P(t, T) \cdot \hat{ V_t } ) |_{x=P(t,T), y=\hat{ V_t }} d[ P(t,T) , \hat{ V_t } ] \nonumber \\ && \quad+ \frac{1}{2} \partial_{yx} (P(t, T) \cdot \hat{ V_t } ) |_{ y=\hat{ V_t }, x=P(t,T)} d[ \hat{ V_t }, P(t,T) ] \\ &=& \hat{ V_t }dP(t,T) + P(t, T) d \hat{ V_t } + d[ \hat{ V_t }, P(t,T) ] \end{eqnarray}

• Utiliza el resultado de (2). \begin{eqnarray} d V_t &=& \hat{ V_t }dP(t,T) + P(t, T) d \hat{ V_t } + d[ \hat{ V_t }, P(t,T) ] \\ &=& \hat{ V_t }dP(t,T) + P(t, T) \partial_x C(X_t, \kappa, v(t, T) ) dX_t \nonumber \\ && \quad + \partial_x C(X_t, \kappa, v(t, T) ) dP(t, T) dX_t \\ &=& \hat{ V_t }dP(t,T) - \partial_x C(X_t, \kappa, v(t, T) ) X_t dP(t, T) \nonumber \\ && \quad + \partial_x C(X_t, \kappa, v(t, T) ) X_t dP(t, T) \nonumber \\ && \quad + \partial_x C(X_t, \kappa, v(t, T) ) P(t, T) dX_t \nonumber \\ && \quad + \partial_x C(X_t, \kappa, v(t, T) ) dP(t, T) dX_t \end{eqnarray}

• Aquí se calcula la dinámica de $P(t, S)$ utilizando la definición de $X_t=P(t, S)/P(t, T)$ por It $\hat{o}$ de la fórmula. \begin{eqnarray} d P(t, S) &=& d(X_t P(t, T)) \\ &=& \partial_t (X_t P(t, T)) dt \nonumber \\ && \quad + P(t, T) \partial_x X_t |_{x=X_t} dX_t + X_t \partial_y P(t, T) |_{y=P(t, T)} dP(t, T) \nonumber \\ && \quad + \frac{1}{2} P(t, T) \partial_{xx} X_t |_{x=X_t} d [X_t ] \nonumber \\ && \quad + \frac{1}{2} X_t \partial_{yy} P(t, T) |_{y=P(t, T)} d [P(t, T) ] \nonumber \\ && \quad + \frac{1}{2} \partial_{xy} (X_t P(t, T)) |_{x=X_t, y=P(t,T)} d[ X_t, P(t,T) ] \nonumber \\ && \quad + \frac{1}{2} \partial_{yx} (X_t P(t, T)) |_{y=P(t,T), x=X_t} d[P(t,T), X_t ] \\ &=& P(t, T) dX_t + X_t dP(t, T) + d[ X_t, P(t,T) ] \\ &=& P(t, T) dX_t + X_t dP(t, T) + d X_t dP(t,T) \\ &=& P(t, T) dX_t + X_t dP(t, T) + dP(t,T) d X_t \end{eqnarray}

• Sustituya el resultado anterior en $dV_t $ . \begin{eqnarray} d V_t &=& \hat{ V_t }dP(t,T) - \partial_x C(X_t, \kappa, v(t, T) ) X_t dP(t, T) \nonumber \\ && \quad + \partial_x C(X_t, \kappa, v(t, T) ) X_t dP(t, T) \nonumber \\ && \quad + \partial_x C(X_t, \kappa, v(t, T) ) P(t, T) dX_t \nonumber \\ && \quad + \partial_x C(X_t, \kappa, v(t, T) ) dP(t, T) dX_t \\ &=& \left( \hat{ V_t } - X_t \partial_x C(X_t, \kappa, v(t, T) ) \right) dP(t, T) \nonumber \\ && \quad + \partial_x C(X_t, \kappa, v(t, T) ) d P(t, S) \\ &=& \left( \hat{ V_t } - \frac{P(t, S)}{P(t, T)} \partial_x C(X_t, \kappa, v(t, T) ) \right) dP(t, T) \nonumber \\ && \quad + \partial_x C(X_t, \kappa, v(t, T) ) d P(t, S) \end{eqnarray}

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(4) Mi respuesta

• (2) supone que la cartera $(\xi^T_t, \xi^S_t)_{t \in [0, T]}$ se autofinancia, es decir \begin{eqnarray} dV_t=\xi^T_t dP(t, T) + \xi^S_t dP(t, S) \end{eqnarray}

• También se tiene otra expresión de $dV_t$ por (3). \begin{eqnarray} d V_t &=&\left \hat{ V_t } - \frac{P(t, S)}{P(t, T)} \partial_x C(X_t, \kappa, v(t, T) ) \right) dP(t, T) \nonumber \\ && \quad + \partial_x C(X_t, \kappa, v(t, T) ) d P(t, S) \end{eqnarray}

• item Comparando las dos ecuaciones anteriores, se llega a las siguientes ecuaciones. \begin{eqnarray} \xi^S_t &=& \partial_x C(X_t, \kappa, v(t, T) ) \\ \xi^T_t &=& \hat{ V_t } - \frac{P(t, S)}{P(t, T)} \partial_x C(X_t, \kappa, v(t, T) ) \\ &=& \hat{ V_t } - X_t \partial_x C(X_t, \kappa, v(t, T) ) \\ &=& \hat{ V_t } - X_t \xi^S_t \end{eqnarray}

• Recordemos el resultado de (1), $C(X_t, \kappa, v(t, T) ) $ y el resultado de (2), $\hat{ V_t }=C(X_t, \kappa, v(t, T) ) $ . \begin{eqnarray} C(X_t, \kappa, v(t, T) ) &=& \frac{ P(t,S) }{ P(t, T) } N\left( \frac{v}{2} + \frac{1}{v} \log \frac{P(t,S) }{\kappa \ P(t,T)} \right) \nonumber \\ && \qquad - \kappa N\left( - \frac{v}{2} + \frac{1}{v} \log \frac{P(t,S) }{\kappa\ P(t,T)}\right) \\ &=& X_t N\left( \frac{v}{2} + \frac{1}{v} \log \frac{X_t}{\kappa } \right) \nonumber \\ && \qquad - \kappa N\left( - \frac{v}{2} + \frac{1}{v} \log \frac{X_t }{\kappa }\right) \\ \hat{ V_t } - X_t N\left( \frac{v}{2} + \frac{1}{v} \log \frac{X_t}{\kappa } \right) &=& - \kappa N\left( - \frac{v}{2} + \frac{1}{v} \log \frac{X_t }{\kappa }\right) \end{eqnarray}

• Comparando la ecuación anterior con $\xi^T_t $ se llega a las siguientes ecuaciones. \begin{eqnarray} \xi^S_t &=& N\left( \frac{v}{2} + \frac{1}{v} \log \frac{X_t}{\kappa } \right) \\ &=& N\left( \frac{v(t, T) }{2} + \frac{1}{v(t, T) } \log \frac{P(t, S)}{\kappa \ P(t, T)} \right) \\ \xi^T_t &=& - \kappa N\left( - \frac{v}{2} + \frac{1}{v} \log \frac{X_t }{\kappa }\right) \\ &=& - \kappa N\left( - \frac{v(t, T)}{2} + \frac{1}{v(t, T)} \log \frac{P(t, S) }{\kappa \ P(t, T) }\right) \end{eqnarray}

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