$\beta = 1$ : Simulación de SABR y si una solución es *exacta*.

Question

Pregunta rápida sobre las distribuciones condicionales (SABR es sólo un ejemplo)

Considere $$dS_t = \sigma_tS_tdW_t$$ $$d\sigma_t = \alpha\sigma_tdV $$ $$dW_tdV_t=\rho dt$$

Por lo tanto, un proceso SABR con $\beta=1$ . El proceso de volatilidad es un GBM y así podemos implementar la solución exacta y simular $\sigma_{i+1}$ de $\sigma_i$ . Ahora no sé qué terminología matemática utilizar en $S_t$

Cuando $V_{i+1}$ y $V_{i}$ es CONOCIDO sabemos el valor exacto de $\sigma_{i+1} $ de $\sigma_i$ .

Con $\sigma_t$ conocido, podemos simular $W_{i+i}-W_{i}$ y una forma adecuada de calcular $S_{i+1}$ de $s_i$ es como un GBM con volatilidad $\sigma_i$ . Así es como se hace en la práctica con este parámetro.

Mi pregunta: ¿Hasta qué punto podemos llamar $S_{i+1}$ ¿tan exacto?

Mi opinión personal: Esto no es para nada exacto porque tenemos que conocer todo el camino de $[\sigma_i,\sigma_{i+1}]$ para llamarlo con exactitud.

La razón de mi confusión es que la gente llama a SABR para $\beta = 1$ para log-normal para una volatilidad realizada.

Answer 1

No, la simulación no es exacta en general, precisamente por la razón que mencionas. Por "exacta" se entiende que no hay error de discretización en el tiempo. Por supuesto, siempre habrá un error de muestreo de Monte-Carlo.

Para el modelo Black-Scholes, la simulación es exacta si se simula el logaritmo del activo, ya que se trata de un movimiento browniano aritmético estándar, y luego sólo se calcula la exponencial del logaritmo del activo en cada trayectoria. No hay error de discretización, la integral sobre un intervalo de tiempo se calcula exactamente.

Para el modelo SABR lognormal ( $\beta=1$ ), utilizando la formulación logarítmica de los activos, se puede calcular la integral $\int_{0}^{t} \sigma^2(u) du$ exactamente, pero seguirá teniendo el término $\int_{0}^{t} \sigma(u) dW(u)$ para calcular. En general, se utilizará una aproximación para ello.

Ahora, en realidad, creo que hay una manera de calcular esta distribución exactamente, y esto se utiliza para calcular la fórmula de forma cerrada para el precio de una opción vainilla con $\beta=1$ pero esta fórmula de forma cerrada implica una integral doble sobre funciones no triviales (esto se puede encontrar en el libro de Pierre Henry-Labordère "Analysis, Geometry, and Modeling in Finance"). También hay trabajos matemáticos en torno a esta integral estocástica. Y para una simulación de Monte-Carlo, puede que no sea una buena idea utilizar una fórmula tan compleja, ya que será muy lenta en general.