Cálculo del delta de la cartera de opciones mediante la media de las entradas

Question

Tratando de pensar en dos escenarios de carteras de opciones, que son muy similares. Me pregunto si se puede tomar una cartera de opciones, todas escritas contra el mismo producto subyacente, y utilizar la media de otras entradas en Black Scholes para obtener el delta de toda la cartera.

Escenario 1 - usted tiene una cartera de Calls SOLO, en la que todas las opciones CALL de la cartera tienen el mismo tiempo hasta el vencimiento, tipo de interés, dividendo, y subyacente, y volatilidad continua/constante a través de los strikes, pero diferentes precios de strike. Sólo tiene 1 contrato en cada uno de los distintos precios de ejercicio (es decir, volumen constante).

¿Se puede tomar una media de todos los strikes de la cartera y utilizar el strike medio y el valor medio de la volatilidad en Black Scholes para obtener una buena estimación de la delta de la cartera? ¿O este valor diferirá sustancialmente del delta de la cartera que se obtendría calculando el delta de cada opción individualmente, y luego sumando y dividiendo por el número de contratos?

Escenario 2 - igual que el escenario 1 pero ya no hay volatilidad continua, por lo que hay diferentes valores de volatilidad implícita en cada strike. Si se toma la media de todos los valores de volatilidad implícita y la media de todos los precios de ejercicio, y se introduce en una única fórmula de Black Scholes, ¿es ésta una buena aproximación a la delta de la cartera?

Hay que tener en cuenta que esta pregunta es subjetiva: ¿cuál debe ser la precisión del delta de la cartera? Me pregunto si esta técnica proxy se utiliza en la práctica profesional, y también sólo pensamientos subjetivos sobre si este es un enfoque razonable para el comercio minorista.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Su pregunta es, de hecho, una de las linealidad del coste de replicación de una opción. Formulémoslo de una manera general: una vez que se puede expresar el coste de replicación $C$ de un pago en función de varios factores $X$ la huelga $S$ y la volatilidad $\sigma$ que usted supone que es una función de la huelga, usted está preguntando si $$\frac{1}{N}\sum_\ell C\big(X, S_\ell, \sigma(S_\ell)\big)= \textstyle C\big(X, \frac{1}{N}\sum_\ell S_\ell,\frac{1}{N}\sum_\ell \sigma(S_\ell)\big).$$ Esto es claramente una cuestión sobre la linealidad de $s\mapsto C(F,s,\sigma(s))$ .

Ahora mire la fórmula Black-Scholes de una llamada ( tomado de wikipedia ): $$C(F, \tau) = D \cdot\left[ N(d_+) F - N(d_-) K \right].$$

La huelga interviene (linealmente) en el precio a plazo $F$ y en las distancias renormalizadas: $$d_\pm = \frac{1}{\sigma\sqrt{\tau}}\left[\ln\left(\frac{F}{K}\right) \pm \frac{1}{2}\sigma^2\tau\right]$$

No es fácil deducir todas las configuraciones para las que esta fórmula es lineal en $F$ pero al menos cuando la volatilidad implícita es tan grande que $N(d_\pm)$ son más o menos contantes entonces $C$ se convierten en lineales en $F$ .

Para responder plenamente a su pregunta: Nunca he visto que se utilice este tipo de consideraciones en la práctica, porque una vez que se sabe numéricamente cómo cotizar una opción, no es muy costoso cotizar más del mismo tipo.