Integral del proceso de Wiener con respecto al tiempo

Question

Tengo una duda con respecto al cálculo de la siguiente integral-

$\int_0^t W_sds$

donde $W_s$ es el Proceso Wiener.

Esto se ha resuelto muy hábilmente en lo siguiente página . Resulta ser una distribución normal con media 0 y varianza $t^{3}/3$ .

Mi duda es que la integral anterior también podría expresarse como el límite de la suma

$lim_{ n \to \infty } \sum_{i=0}^{n-1} W_{s_i}(s_{i+1}-s_i)= lim_{ n \to \infty } \sum_{i=0}^{n-1} \phi_{i}(0,i(t/n)^{3}) = lim_{ n \to \infty } \phi(0,\frac{n(n+1)}{2}(t/n)^{3})=0 $

donde $\phi (\mu ,\sigma^{2})$ es la distribución normal con media $\mu$ y la varianza $\sigma^{2}$ .

Esto sugiere que la integral es igual a 0, lo que sé que es incorrecto por las soluciones anteriores. ¿Puede alguien indicarme dónde me equivoco?

Gracias.

Answer 1

El comentario de @Ivan respecto a las covarianzas es la clave.

Considere una partición igualmente espaciada $\Pi_n = \left\{ t_0 = 0, t_1 = \Delta_n, \ldots, t_n = t \right\}$ del intervalo $[0, t]$ , donde $t_i = i \Delta_n$ y $\Delta_n = t / n$ para que

\begin{equation} X_t = \lim_{n \rightarrow \infty} X_n, \qquad X_n = \sum_{i = 1}^n W_{t_i} \left( t_i - t_{i - 1} \right). \nonumber \end{equation}

Ahora, cada $W_{t_i}$ es $\mathcal{N} \left( 0, t_i \right)$ distribuido y la covarianza entre $W_{t_i}$ y $W_{t_j}$ para $i, j \in \{ 0, 1, \ldots, n \}$ es $\min \left\{ t_i, t_j \right\} = \Delta \min \{ i, j \}$ . Sea $\bar{W}_n = \left( \begin{array}{c c c c} W_{t_1} & W_{t_2} & \dots & W_{t_n} \end{array} \right)'$ entonces la matriz de covarianza es

\begin{eqnarray} \bar{\Sigma}_n = \mathbb{E} \left[ \bar{W}_n \bar{W}_n' \right] = \left[ \begin{array}{c c c c} t_1 & t_1 & \dots & t_1\\ t_1 & t_2 & \dots & t_2\\ t_1 & t_2 & \ddots & \vdots\\ t_1 & t_2 & \dots & t_n \end{array} \N-derecha] = \N-Delta_n \N-izquierda[ \begin{array}{c c c c} 1 & 1 & \dots & 1\\ 1 & 2 & \dots & 2\\ 1 & 2 & \ddots & \vdots\\ 1 & 2 & \dots & n \end{array} |derecha]. |número \N - Fin.

Como la suma ponderada de variables aleatorias con distribución normal está a su vez distribuida normalmente, se deduce que $X_n \sim \mathcal{N} \left( 0, \Delta_n \bar{1}_n \bar{\Sigma}_n \bar{1}_n' \Delta_n \right)$ , donde $\bar{1}_n$ es un $n$ -vector columna de unos. Tenemos

\begin{eqnarray} \text{Var} \left( X_n \right) & = & \Delta_n^3 \sum_{i = 1}^n i \left( 2 (n - i) + 1 \right) \nonumber\\ & = & \Delta_n^3 \left( \frac{1}{3} n^3 + \frac{1}{2} n^2 + \frac{1}{6} n \right) \nonumber\\ & = & t^3 \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} n^{-1} + \frac{1}{6} n^{-2} \right). \nonumber \end{eqnarray}

En consecuencia,

\begin{equation} \lim_{n \rightarrow \infty} \text{Var} \left( X_n \right) = \frac{1}{3} t^3 \nonumber \end{equation}

y se deduce que $X_t \sim \mathcal{N} \left( 0, t^3 / 3 \right)$ .