Monotonicidad de las subastas de segundo precio con precios de reserva específicos para cada licitador

Question

Tengo dificultades para entender el problema que se plantea a continuación:

Dados los FCDs $F_1, ..., F_n$ demostrar que la regla de asignación de una subasta de segundo precio con precios de reserva específicos para cada licitador es monótona. El artículo se recompensa al licitador con la oferta más alta que cumpla su precio de reserva. El precio de reserva del licitador $i$ es $r_i = _i^{-1}(t)$ donde $_i$ es la función de valoración virtual

$$\phi_i(v_i) = v_i - \frac{1 - F_i(v_i)}{f_i(v_i)}$$

y $t$ se elige de forma que

$$Pr\left[\max_i _i(v_i) \ge t\right] = 1/2.$$ Dado que las valoraciones virtuales se determinan antes de la subasta (si lo he entendido bien), ¿cómo afectan los precios de reserva a la monotonicidad de la regla de asignación? El comportamiento sigue siendo el mismo: si sigues aumentando tu puja, tendrás más posibilidades de conseguir el precio. ¿Cómo debo proceder?

Answer 1

Algunas reflexiones. Si se tratara de una SPA sin precio de reserva, la monotonicidad de la regla de asignación es trivial. Cuando el precio de reserva es uniforme para todos los licitadores, la regla de asignación es claramente monótona, ya que para las ofertas bajas, su aumento podría no cambiar la probabilidad de asignación. Lo único que hace que este problema sea diferente es que los precios de reserva son específicos para cada licitador. Así que una posibilidad es que sólo hay que demostrar que la lógica de la monotonicidad anterior sigue siendo válida en esta configuración. Probablemente al tratar de demostrar que la lógica sigue siendo válida, descubrirás si hay algún argumento extra que tendrás que hacer para seguir teniendo la monotonicidad.

Por ejemplo, me puede preocupar que al aumentar mi oferta pueda aumentar mi propio precio de reserva, o disminuir el precio de reserva de algún otro licitador y, por tanto, reducir mi probabilidad de que me asignen el bien.