¿Es posible transformar la ecuación de Black-Scholes asiática de muestreo continuo de la media aritmética en una ecuación de calor?

Question

Por Transformación de la ecuación diferencial de Black-Scholes a la ecuación de difusión, y viceversa , somos capaces de transformar la opción europea vainilla en una ecuación de calor.

Y sabemos que la media aritmética de la huelga continua de la ecuación Black-Scholes asiática es $$\frac{\partial V}{\partial t} +\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial ^2 V}{\partial S^2} +rS\frac{\partial V}{\partial S} + S\frac{\partial V}{\partial J}- rV=0$$ es decir, sólo un término más $S\frac{\partial V}{\partial J}$ en comparación con la ecuación original del BS.

Como esta ecuación es similar a la ecuación original de BS, supongo que podemos transformarla en una ecuación de calor. ¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Esto no transformará una versión de la ecuación del calor que pueda ser resuelta analíticamente. El término extra resulta en la integral de tiempo del Movimiento Browniano Geométrico, que no tiene una transformación analítica conocida.

• Se cree que la suma (o, lo que es lo mismo, la media aritmética) de variables distribuidas lognormalmente da lugar a un proceso de Bessel que converge a una distribución gamma inversa. Esto se ha estudiado ampliamente ( Yor y Geman. Procesos de Bessel, opciones asiáticas y perpetuidades. 1993 ) ( Daniel Dufresne. Sumas de Lognormales. 200 )( Daniel Dufresne, Procesos de Bessel y opciones asiáticas. 2005 ) Sin embargo, no existe ninguna transformación analítica conocida para derivar los parámetros de esta distribución. En su lugar, suelen evaluarse mediante métodos numéricos o aproximaciones.
• La observación de que las sumas de lognormales se parecen mucho a una distribución lognormal ha dado lugar a la mayoría de los métodos de ajuste de momentos (por ejemplo, el método de Fenton-Wilkinson).

El término extra conduce a errores contables incrementales cuando se intentan utilizar métodos de integración directa. Mientras que el cálculo de Ito da cuenta de este error de convexidad al transformar la ecuación diferencial de Black-Schole de un movimiento browniano exponencial, ningún método analítico conocido puede dar cuenta de estos términos de error al integrar las sumas de lognormales mismas.

• La integral de tiempo del movimiento browniano aritmético sigue teniendo una distribución normal. Sin embargo, debido al término de error, la integral de tiempo del movimiento browniano geométrico no sigue distribuyéndose normalmente.
• La excepción a lo anterior se aplica cuando se toma el incondicional expectativa de la integralidad del tiempo. En este caso, se puede demostrar que la aleatoriedad es intrascendente para las expectativas. Sin embargo, el caso de uso de la SDE mostrado anteriormente es tomar una condicional expectativa para la fijación de precios de las opciones asiáticas y similares.

Tengo la impresión de que este problema se resolverá dentro de mi vida mediante un análogo de la regla de la cadena de Ito. Pero hasta entonces nos quedan las aproximaciones, las transformaciones numéricas y los métodos numéricos.