Un error en la cobertura delta, cuando para un determinado paso dS=0

Question

Supongamos que estamos haciendo una simulación de cobertura delta según Black Scholes, donde las condiciones iniciales son [stockPrice, strike, timeToExpire ,riskFreeRate, dividend, sigma, isCall] = [100, 100, 1, 0, 0.2, True]. Digamos que se denotan como [S, K, t, r, q, $\sigma$ , ] en Black Scholes. Por lo tanto, particularmente hemos=0 Black Scholes se suele escribir como

$r\frac{\partial V}{\partial S}S+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}+ \frac{\partial V}{\partial t}-rV=0$

donde V es el valor de la opción. Al reescribirlo se obtiene

$rdt(V-\frac{\partial V}{\partial S}S)=(\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}+\frac{\partial V}{\partial t})dt$

Por la suposición del movimiento browniano geométrico y las aproximaciones del proceso de Wiener tenemos

$\frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(dS)^2=\frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\sigma^2S^2$

donde

$dS=\mu Sdt+\sigma SdW$

Por lo tanto, de forma equivalente,

$rdt(V-\frac{\partial V}{\partial S}S)=(\frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(dS)^2+\frac{\partial V}{\partial t})dt------(1)$

Por ningún supuesto de arbitraje,

$rdt(V-\frac{\partial V}{\partial S}S)=dV-\frac{\partial V}{\partial S}dS ------(2)$

Ahora digamos que en un determinado paso de la cobertura, encontramos que

$dS=0$

tal que

$\frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(dS)^2=0$

Y siempre sostiene que $\frac{\partial V}{\partial t}<0$ por (1) y (2) (o simplemente el lema de Ito) tenemos

$dV-\frac{\partial V}{\partial S}dS = (\frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(dS)^2+\frac{\partial V}{\partial t})dt<0$

Mientras que desde $r=0$ tenemos $rdt(V-\frac{\partial V}{\partial S}S)=0$ . Por (2) tenemos

$dV-\frac{\partial V}{\partial S}dS=rdt(V-\frac{\partial V}{\partial S}S)=0$

Observando las dos ecuaciones anteriores encontramos una contradicción. Entonces, ¿cuál es el problema ahí?

Answer 1

Este es un malentendido común. Tenga en cuenta que $(dS_t)^2$ es sólo una notación abreviada o heurística para $d[S, S]_t$ . Aquí $[S, S]_t$ es la variación cuadrática. No hay que tomar literalmente $(dS_t)^2$ como el producto algebraico de $dS$ y $dS$ . De hecho, hay que tener en cuenta que \begin{align*} d[S, S]_t = \sigma^2 S^2 dt. \end{align*} Entonces, aunque $dS=0$ no significa que $d[S, S]_t=0$ .