Macroeconomía intermedia: ¿conjunto óptimo para la utilidad cuasilineal?

Question

¿Cómo podría resolver esta cuestión?

Suponiendo que la función de utilidad del consumidor es $U(C,L)=c+2l^{0.5}$ El consumidor gana un salario de 0,5/hora, $h=24$ y no hay dividendos reales y los impuestos son $T=11$ encontrar:

a. La cantidad máxima de ocio que puede tener la familia y seguir pagando impuestos
b. encontrar el paquete óptimo de consumo y ocio.

Para la parte (a), tomé la derivada de $U$ con respecto a $L$ y ponerlo a 0, dándome $l^{0.5}=0$ y $l=0$ . ¿Esta parte es correcta? Intuitivamente, esto me parece muy incorrecto.

También estoy atascado en la parte (b). He tomado la derivada de la utilidad con respecto a $C$ . Según tengo entendido, MRS es el derivado de $U$ con respecto a $L$ sobre la derivada de $U$ con respecto a $C$ . Acabé consiguiendo $1/(L^{0.5})$ .

Sé que el paquete óptimo es cuando la recta presupuestaria es tangente a la curva de indiferencia y también sé que la pendiente de la recta presupuestaria sería $-W$ . Sin embargo, cuando resuelvo para $1/(L^{0.5})=0.5$ Termino recibiendo $L=4$ y $C=-1$ . Para mí no tiene sentido que un consumidor pueda tener un consumo negativo.

Agradecería mucho que alguien me indicara en qué me he equivocado.

Answer 1

De la función de utilidad parece que L es el ocio.

a) Creo que te has equivocado en a). Para a, simplemente quieres trabajar lo menos posible pero poder pagar 11 en impuestos. Así que querrás ganar exactamente 11USD y no más (ganar más significa trabajar más, lo que quieres minimizar). Así que a 0,50USD la hora tienes que trabajar 22 horas. Como h=24, el máximo ocio que puedes tener es 24-22=2.

b) Donde te equivocas en tu planteamiento analítico para b) es en no incluir la restricción presupuestaria en tu problema (al tomar las derivadas), cosa que deberías hacer como has explicado para el análisis gráfico.

Para el consumo tienes gastos - ingresos: p*c=salario*trabajo - T (técnicamente una desigualdad, pero en este caso puedes asumir que se mantiene con igualdad). Yo sugeriría usar un langrangiano con esta restricción. También tienes la restricción de que Ocio=24-trabajo. Esto lo puedes introducir directamente y es aconsejable para que tu problema sólo tenga dos incógnitas (c y trabajo). Resolver este problema ahora debería ser suficiente.

Answer 2

La primera pregunta no tiene nada que ver con la optimización de la utilidad, y por tanto con la función de utilidad. Sólo determina un límite, y es la solución a la desigualdad

$$(24-l)\cdot \frac 12 \geq 11$$

desde $(24-l)$ representa la cantidad de trabajo en horas.

La tarea de optimización es

$$\max _{c,l}U(c,l)=c+2l^{1/2} \\$$

$$s.t. \;\;c = (24-l)\cdot \frac 12 -11,\;\; c\geq 0,\;\; l \geq 0$$

Debido a la existencia del impuesto a tanto alzado, las restricciones de no negatividad importan . Por eso la OP terminó con un consumo negativo, porque no consideró las restricciones de no negatividad.

Ahora, en lugar de optar por un tratamiento formal con multiplicadores de Karush-Kuhn-Tucker no negativos, resulta útil la primera pregunta. Dado que existe un máximo cantidad de ocio en la que el consumidor sólo puede pagar impuestos (y por lo tanto tiene un consumo nulo), se deduce que la variable "ocio" no puede tomar un valor mayor que ese, porque llevará a un consumo negativo.

Entonces se puede razonar tomando las derivadas parciales de la función de utilidad, y preguntarse "si un disminuye el ocio un poco por debajo de su nivel máximo permitido, ¿qué pierdo en términos de utilidad por el ocio perdido, y qué gano en términos de utilidad por el consumo ganado?" También ayudará considerar los dos extremos: ¿Cuál es la utilidad cuando el ocio es máximo y el consumo es cero? ¿Cuál es la utilidad cuando el ocio es cero y el consumo es máximo? No te olvides de pagar primero los impuestos (muy elevados).