Negatividad numérica para evitar la solución de los límites

Question

Con la utilidad cuasilineal, he visto que a menudo no se impone ninguna restricción de no negatividad al bien numérico. MWG lo justifica como "para evitar problemas de boudary", pero no puedo ver el paso - probablemente trivial.

Además, ¿hay situaciones en las que la restricción de no negatividad del numerario puede aplicarse sin añadir restricciones?

Answer 1

Considere $u(x,y)=2\sqrt x+y$ y la restricción presupuestaria es $x+y\le 0.5$ .

Si se impone la no negatividad, es decir $x,y\ge0$ entonces la solución óptima para la maximización de la utilidad es $\bar x=0.5$ y $\bar y=0$ . Obsérvese que bajo esta solución, la FOC se mantiene con una desigualdad estricta. Así que tenemos que discutir varias condiciones de holgura complementarias antes de llegar a la solución.

Si permitimos $y$ sea negativo, entonces la solución óptima es $x^*=1$ y $y^*=-0.5$ . Bajo esta solución, FOC se mantiene con igualdad, y ambos $x^*$ y $y^*$ puede resolverse directamente a partir de la FOC (y de la restricción presupuestaria).

Desde el punto de vista de la caracterización de las soluciones, es más conveniente no imponer la(s) restricción(es) de no negatividad.