Modelización del tipo de interés

Question

Hola quiero modelar dos integrales estocásticas en Matlab, que viene dada por $ x(t) = x(s) e^{-a(t-s)} + \sigma \int_s^t e^{-a(t-u)} dW_1(u)$

$y(t) = y(s) e^{-b(t-s)} + \eta \int_s^t e^{-b(t-u)} dW_2(u)$

con

$E[x(t) \vert F_s] = x(s) e^{-a(t-s)}$

$Var[x(t) \vert F_s] = \frac{\sigma^2}{2a} [1-e^{-2a(t-s)}]$

La dinámica viene dada por :

$dx(t) = -a x(t) dt + \sigma dW_1(t), x(0) = 0 \\ dy(t) = -by(t) dt + \eta dW_2(t), y(0) = 0 $
$\\$

Quiero implementar esto en Matlab sin usar la dinámica sino la integral estocástica y la propiedad de la distribución. Quiero modelar trayectorias para x(t) e y(t)

Tenemos

$x(1) \sim N\left(x(0)e^{-at}, \frac{\sigma^2}{2a} [1-e^{-2at} \right)$

$x(2) \sim N\left(x(0)e^{-a(t-1)}, \frac{\sigma^2}{2a} [1-e^{-2a(t-1)} \right)$ .......

Conociendo la distribución de cada $t$ ¿Cómo puedo modelar $x(t)$ para cada $t$

Answer 1

En general, se puede aproximar cualquier SDE mediante la simulación en tiempo discreto. Los esquemas estándar para ello son el método de Euler-Maruyama, Milstein o Runge-Kutta:

• https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Maruyama_method
• https://en.wikipedia.org/wiki/Milstein_method
• https://en.wikipedia.org/wiki/Runge%E2%80%93Kutta_method_(SDE)

Utilizando Euler-Maruyama, el siguiente pseudocódigo demuestra cómo se podría simular una trayectoria de $x(t)$ en un intervalo $[0,T]$ :

T  = 2       # Total length of time
dt = 0.01    # discrete time step lengths
n  = T / dt  # number of time steps
x0 = 0       # Start value of x(t)
x  = [x0]
Z  = [Array of i.i.d. Standard Normal Samples of length n]

for i = 1 to n
    x[i] = x[i-1] - a * x[i-1] * dt + sigma * sqrt(dt) * Z[i]