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Equilibrio de duopolio de Bertrand para precios discretos

  • Hay dos empresas idénticas, $1$ y $2$ con costes marginales nulos. Producen un producto homogéneo, que es demandado por una masa unitaria de consumidores idénticos, cada uno de los cuales tiene una demanda unitaria inelástica con un precio de reserva de $2$ . Los precios se limitan a tomar sólo valores enteros. Utilizando el razonamiento estándar de la teoría de juegos, determine si cada par posible $(p_1,p_2)$ puede considerarse como un equilibrio de Bertrand Nash.

¿Los equilibrios de Nash serían $(p_{1}^{*},p_{2}^{*})=$ $\{(0,0),(1,1)\}$ . Para los precios simétricos, $\{(2,2)\}$ ya que la demanda sería $0$ Puedo ver cómo la desviación unilateral a $1$ podría aumentar los beneficios de una empresa. Sin embargo, para los precios $\{(0,0),(1,1)\}$ no es posible obtener beneficios unilaterales. Para otros emparejamientos de precios no simétricos, son posibles las desviaciones unilaterales. Por lo tanto, los precios de equilibrio de Nash son $\{(0,0),(1,1)\}$ . ¿Es correcto mi razonamiento?

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Scimonster Puntos 169

La formulación del problema admite la siguiente representación en forma normal. Podemos rechazar cualquier estrategia que implique un precio superior a 2, ya que la demanda cae a cero y tales estrategias están estrictamente dominadas por aquellas para las que los precios son 1 o 2.

    0         1         2

0 [0,0]     [0,0]     [0,0]    

1 [0,0]   [0.5,0.5]   [1,0]

2 [0,0]     [0,1]     [1,1]

Con esta configuración se puede ver que hay tres equilibrios de Nash: (0,0), (1,1) y (2,2). En (0,0), las empresas son indiferentes al resultado de un precio más alto, y no se desviarán. En (1,1), la empresa 1 no se desviará a 2, ni la empresa 2 se desviará a 2, ya que esto cede el mercado al adversario. En (2,2) las empresas son indiferentes a reducir el precio a 1.

(0,1), (0,2), (1,0) y (2,0) están estrictamente dominados por la desviación a una estrategia de igualación de precios, dividiendo el mercado entre las empresas.

Del mismo modo, (1,2) y (2,1) no son equilibrios de Nash porque cualquier empresa que abra con un precio de 2 puede capturar la mitad del mercado desviándose a un precio de 1.

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Randy Puntos 21

En primer lugar, a precios de reserva, no es obligatorio que la demanda sea 0. Los consumidores serán indiferentes entre comprar o no comprar el bien. Sea q* la demanda por la masa cuando el precio es 2 o menos. Si sacamos la función de beneficios de ambas empresas, veremos que a p1=2, el beneficio recibido por la empresa 2 será el mismo si P2=1,2. Como los costes son 0, se repartirá el mercado a p2=2 y obtendrá un beneficio igual a q* y a p2= 1 obtendrá todo el mercado y volverá a obtener un beneficio igual a q*. Cuando p1=1, la mejor respuesta de la empresa 2 es p2=1. Cuando p1=0, la mejor respuesta de la empresa 2 es p2 es un miembro de N, donde N es un número natural (0 es un número natural). Esto se debe a que la empresa 2 obtendrá beneficios 0 para cualquier precio. La mejor respuesta de la empresa 1 será análoga porque las funciones de costes son las mismas. Por lo tanto los Equilibrios de Nash son {(0,0),(1,1),(2,2)}. Para el precio de reserva P1=2, supongamos que la demanda es 0, entonces la mejor respuesta de la empresa 2 será p2 es miembro de N de nuevo, porque obtendrá 0 beneficios en todo N. Además, cuando p1>2, la mejor respuesta de la empresa 2 será p2=2, pero no habrá intersección de mejores respuestas más allá de (2,2).

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