Interpretación de la ecuación derivada del delta de una opción de compra europea

Question

He empezado a leer un libro de introducción llamado: A Course in Derivative Securities por Kerry Back. En la página 12 mencionan lo siguiente:

El delta de la opción de compra es $\delta = (C_{u} - C_{d}) / (S_{u} - S_{d})$ y luego reescriben esto para $\delta S_{u} - C_{u} = \delta S_{d} - C_{d}$ , donde $S_{u}$ es el precio de las acciones en el "estado de subida", $S_{d}$ para el "estado de inactividad" y $C_{u} = max(0, S_{u} - K)$ , $K$ es el precio de ejercicio.

Ahora me pregunto, además de por las matemáticas, por qué es, intuitivamente, que $\delta S_{u} - C_{u} = \delta S_{d} - C_{d}$ en el día 0. ¿Se mantiene esto también en cualquier otro día? Si es así, ¿podría alguien decirme intuitivamente por qué (entiendo la derivación, pero me falta la comprensión más profunda del por qué)?

¡Muchas gracias!

Answer 1

La llamada Delta se define generalmente como $$\Delta_C=\partial_S C=\frac{dC}{dS}=\frac{C_u-C_d}{S_u-S_d}$$ por lo que es la derivada o cambio tangencial de $C$ por el cambio en $S$ discretizado en el Modelo Binomial.

Como sabemos, esta derivada es simétrica en ambos sentidos, cuando $C_u$ sube o $C_d$ por lo que, en general, se puede reescribir esta ecuación:

$$\Delta S_u-C_u=\Delta S_d-C_d$$

Como se ha explicado, esto se mantiene todos los días sólo por la definición de $\Delta$ pero todavía no tiene una interpretación intuitiva directa como tal. Se puede decir que para el no-arbitraje, una estructura simétrica es en general "mejor", pero el resultado aquí es sólo una consecuencia de discretizar la derivada en $\Delta$ . Más adelante, uno puede encontrar que Delta también resulta ser la ponderación de las acciones para una cartera de réplica.

Answer 2

Intuitivamente, mantener $\delta$ acciones en su cartera le hará ganar dinero si las acciones suben (pero perderá con la opción que ha vendido), y perderá dinero si las acciones bajan (pero ganará con la opción, que pierde su valor).

La igualdad es la base del concepto de $\delta$ -neutralidad, es decir, que pase lo que pase, el valor de su cartera no se ve afectado y es igual al valor actual (descontado por el tipo libre de riesgo)

Answer 3

No es el día lo que importa. La delta seguirá siendo la misma en los días siguientes si el precio de la opción y su subyacente no varían desde el momento en que se calculó la delta.

Delta es una aproximación lineal y mide sólo la pendiente, pero las opciones son instrumentos no lineales, tienen una convexidad. La delta sólo se mantiene para pequeños cambios en el subyacente, por lo que cualquier cambio grande en el subyacente significa que la delta debe revalorizarse.

También, $\delta S_u - C_u = \delta S_d - C_d$ se mantiene por la definición de la cobertura delta y por cómo se evalúa el delta.