Cobertura de varianza mínima con más de un activo

Question

Mi cartera se compone de 3 activos A,B,C que están correlacionados y cuya estructura de varianza-covarianza es conocida. En un momento dado, me dan mi posición en el activo A digamos.

Necesito construir una cobertura que minimice la varianza utilizando tanto B como C, dada esta posición en A.

Básicamente estoy abordando el problema construyendo directamente la Varianza, como una función de digamos x e y, las posiciones en B y C, y minimizando la función poniendo los parciales con respecto a x e y a 0. Esto me da 2 ecuaciones en x e y y puedo resolverlas para x e y.

Mi pregunta es que, ¿es acertado este planteamiento? ¿Qué noción de riesgo se está minimizando realmente? No he construido explícitamente un modelo de riesgo aquí?

Answer 1

Si se sabe que las desviaciones son $\sigma_0$ , $\sigma_1$ y $\sigma_2$ y las correlaciones son $\rho_{01}$ , $\rho_{02}$ y $\rho_{12}$ entonces puedes hacer exactamente lo que sugieres: escribir la varianza de la cartera total en función de tus participaciones $x_0$ , $x_1$ y $x_2$ y fijar las derivadas parciales con respecto a $x_1$ y $x_2$ a cero. Se obtiene la siguiente ecuación matricial

$$ \left[ \begin{matrix} \sigma_1^2 && \rho_{12}\sigma_1\sigma_2 \\ \rho_{12}\sigma_1\sigma_2 && \sigma_2^2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_1\\x_2 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \rho_{01}\sigma_1 \\ \rho_{o2}\sigma_2 \end{matrix} \right] \sigma_0 x_0$$

que se puede resolver invirtiendo la matriz, siempre que $\rho_{12}\neq \pm 1$ (es decir, sus activos de cobertura no están perfectamente correlacionados o anticorrelacionados).

En cuanto a si esto es bueno, depende de lo que se entienda por "bueno". Usted está minimizando la varianza total de su cartera, condicionada a conocer la matriz de covarianza. Eso es todo lo que puedes decir. Su "modelo de riesgo" es de una sola dimensión - usted está diciendo que la única noción de riesgo que le importa es la varianza total.

Una evaluación completa del riesgo necesitaría un procedimiento para determinar la matriz de covarianza, y algún nivel de backtesting para determinar si su riesgo previsto después de la cobertura es un reflejo del verdadero riesgo que vería si tuviera esta cartera.