Excedente del consumidor con demanda isoelástica

Question

Dejemos que $q(p) = \frac{1}{p}$ denotan la función de demanda y $p^*$ un precio de equilibrio. El excedente del consumidor se define como $$\begin{align} CS = \int_{p^*}^\infty\frac{1}{p} dp= \ln(\infty) - \ln(p^*) = \infty \end{align}$$ lo cual es bastante insatisfactorio. ¿Cuál es la convención aquí?

Edición: Como quiero comparar el bienestar bajo la competencia de precio y cantidad, encontré una solución. Dejemos que $n$ el número de empresas en el mercado, $\bar \pi^j$ Los beneficios de equilibrio de la empresa, $\bar p^j$ precios de equilibrio y $j \in \{b,c\}$ es el índice del tipo de competencia. Ahora podemos calcular la diferencia de bienestar como $$\begin{align} \Delta W := W^c - W^b &= n(\bar \pi^c - \bar \pi^b) + \int_{\bar p^c}^\infty\frac{1}{p}dp - \int_{\bar p^b}^\infty\frac{1}{p}dp\\ & = n(\bar \pi^c - \bar \pi^b) + \ln(\bar p^b) - \ln(\bar p^c) \end{align}$$

Supongamos que obtenemos la siguiente relación $$\begin{align} \Delta W = \frac{(n-1)(\sigma-1)^2}{\sigma n^2(\sigma(n-1)+1)} + \ln\left(\frac{\sigma(n-1)+1}{n \sigma}\right) \end{align}$$ con $n \geq 2$ y $\sigma \in [0,\infty)$ es un parámetro. Claramente $\Delta W = 0$ para $\sigma = 1$ y para todos $n$ . Quiero demostrar además que $\Delta W > 0$ para $\sigma < 1$ y $\Delta W < 0$ para $\sigma > 1$ . ¿Alguna idea de cómo proceder?

Answer 1

Esto simplemente nos dice que el objeto matemático $f(x) = 1/x$ no es amigable con todos los conceptos económicos que queremos asociar/obtener de su uso como función de demanda.
Por lo tanto, no es la herramienta adecuada para representar una función de demanda, deberíamos utilizar otra cosa.

Matemáticamente, esto se relaciona con la serie armónica que es divergente (piense en la integral como una suma discreta).