Me gustaría ahora cómo resolver la EDP de la estructura afín bajo Vasicek.Estoy delineando los pasos:
En primer lugar, planteemos el proceso de OU bajo una Medida de Riesgo Neutral como : \begin{align*} \mathrm{d}r_t=\mu(t,r_t)\mathrm{d}t+\sigma(t,r_t)\mathrm{d}W_t \end{align*}
Luego viene la EDP de los bonos:
\begin{align*} P_t + \mu(t,r) P_r + \frac{1}{2}\sigma(t,r)^2P_{rr} -rP=0, \end{align*} Escribimos la fórmula del bono cupón cero de un centavo y la mezclamos con la EDP original, utilizando una $r_t$ variable :
\begin{align*} P(t,T)=e^{A(t,T)-r_tB(t,T)} \end{align*}
\begin{align*} P_t(t,T) &=\big(A_t(t,T)-r_tB_t(t,T)\big)\cdot P(t,T), \\ P_r(t,T) &= -B(t,T)\cdot P(t,T), \\ P_{rr}(t,T) &= B(t,T)^2\cdot P(t,T). \end{align*}
\begin{align*} A_t(t,T) - \mu(t,r) B(t,T) + \frac{1}{2}\sigma(t,r)^2B(t,T)^2 +(-B_t(t,T)-1)r &=0. \end{align*}
En el caso Vasicek, $\mu(t,r_t)=\kappa(\theta-r_t)$ y $\sigma(t,r_t)=\sigma$ Después, los cálculos son sencillos:
\begin{align*} A_t(t,T) - \kappa \theta B(t,T) + \kappa r B(t,T) + \frac{1}{2}\sigma^2B(t,T)^2 +(-B_t(t,T)-1)r &=0 \\ \implies A_t(t,T) - \kappa \theta B(t,T) + \frac{1}{2}\sigma^2B(t,T)^2-(1+B_t(t,T)-\kappa B(t,T))r &=0. \end{align*}
Y terminamos con dos ecuaciones tales :
\begin{align*} \begin{cases} A_t(t,T) - \kappa \theta B(t,T) + \frac{1}{2}\sigma^2B(t,T)^2 &= 0, \\ 1+B_t(t,T)-\kappa B(t,T) &= 0,\\ u.c : A(T,T)=B(T,T)=0 \end{cases} \end{align*} Sin embargo no entiendo el desarrollo que debemos hacer para encontrar $B_t(t,T) = e^{-k(T-t)}$ y por lo tanto $B(t,T) = \frac{-1+e^{-k(T-t)}}{k}$ .
Gracias por su tiempo
