Se puede resolver secuencialmente observando la estructura de anidamiento de la función de utilidad $U$ .
Así que, en primer lugar, tenga en cuenta que la función de utilidad combina funciones de utilidad con las que probablemente ya esté familiarizado $U=\min\{u_1,u_2\}$ de complementos y $u_1=\sqrt{x+y}$ y $u_2 = z+w$ ambos son sustitutos perfectos. Donde $u_1$ y $u_2$ están anidados dentro de $U$ .
El procedimiento de solución se basa en el siguiente argumento: Por mucho dinero que $m_{u_1}$ el agente decide gastar en $u_1 =\sqrt{x+y}$ debe estar minimizando el coste de conseguir $u_1$ puntos de utilidad. Del mismo modo, por mucho dinero que $m_{u_2}$ el agente gasta en $u_2= z + w$ debe darse el caso de que el agente minimice el coste. Así que primero encontrar las funciones de gasto para estos problemas internos.
En segundo lugar, el agente debe maximizar la utilidad externa $\min\{u_1,u_2\}$ sujeta a que los gastos de los problemas internos sumen el total de los ingresos.
Resuelve el segundo problema interno:
El segundo problema interno es $$max_{z,w} \{z+w \lvert p_zz+p_ww\leq m_{u_2}\},$$
donde $m_{u_2}$ es el dinero que se gasta en $u_2$ .
¿Cómo se obtiene la mayor utilidad por el dinero cuando la utilidad es $u_2 = z + w$ ? Simplemente se compra el bien más barato para que el precio de un punto de $u_2$ la utilidad es $p_{u_2} := \min\{p_z,p_w\}$ . La demanda de $z$ y $w$ depende de la cantidad de dinero que decida gastar en $u_2$ se asume por ahora que es $m_{u_2}$ . Ante esta cantidad la demanda de $z$ es
$$z = \frac{m_{u_2}}{p_z} 1[p_z <p_w]$$
y
$$w = \frac{m_{u_2}}{p_w} 1[p_w <p_z].$$
Dejo a su cargo el caso del umbral en el que $p_z=p_w$ . Cuánta utilidad $u_2$ ¿lo consigues? Bueno, esto debe ser $u_2 = m_{u_2}/\min\{p_z,p_w\}$ - esta es la función de valor para este problema de maximización de la utilidad interna - por lo tanto debe ser el caso que
$$m_{u_2} = \min\{p_z,p_w\} u_2,$$
que es la función de gasto para este problema interno.
Resuelve el primer problema interno:
El primer problema interno es $$max_{x,y} \{\sqrt{x+y} \lvert p_xx+p_yy\leq m_{u_1}\},$$
donde $m_{u_1}$ es el dinero que se gasta en $u_1$ .
¿Cómo se obtiene la mayor utilidad por el dinero cuando la utilidad es $u_1 = \sqrt{x+y}$ ? Es sustitutos perfectos por lo que se compra el bien más barato por lo que la demanda es
$$x = \frac{m_{u_1}}{p_x} 1[p_x <p_y]$$
y
$$y = \frac{m_{u_1}}{p_y} 1[p_y <p_x],$$
donde $m_{u_1}$ es la cantidad de dinero que se gasta en $u_1$ se supone que se conoce. Cuánta utilidad $u_1$ ¿lo consigues? Eso debe ser $u_1 = \sqrt{m_{u_1}/\min\{p_x,p_y\}}$ tal que
$$m_{u_1} = \min\{p_x,p_y\} u_1^2$$
Resolver el problema exterior:
El problema exterior es
$$\max_{u_1,u_2}: \ \ \ \min\{u_1,u_2\} \\[8pt] s.t. \ \ \ \ m_{u_1} + m_{u_2} = m $$
para lo cual reescribimos la restricción presupuestaria en
$$\min\{p_x,p_y\} u_1^2 + \min\{p_z,p_w\} u_2 = m$$
y luego usar eso $u_1=u_2$ porque el problema es de complementos perfectos. Entonces tienes dos ecuaciones en dos incógnitas $u_1$ y $u_2$ . Resolver para $u_1$ y $u_2$ y volver a introducir las soluciones en las funciones de gasto de los problemas internos para obtener $m_{u_1}$ y $m_{u_2}$ que luego se introduce en las ecuaciones de la demanda.
