Análisis de la media/varianza molesta

Question

Actualmente estoy escribiendo mi tesis en la que comparo una serie de modelos de Equilibrio General ESG. Me he encontrado con esta prueba en Pastor, Stambaugh, Taylor Sustainable Investing in Equilibrium (2019) página 42. Aquí prueban pasar de una función de utilidad dada a los pesos de la cartera de los modelos. Estos son los cálculos de los que simplemente no entiendo cómo empiezan en la segunda línea y llegan a la tercera: \begin{align} \mathbb{E}( V(\tilde{W}_{1i},X_i)) &=\mathbb{E}(-e^{-A_i(W_{0i}(1+r_f+X'_i \tilde{r})-b'_iX_i)} \\&= -e^{a_i(1+r_f)} \mathbb{E}( e^{-a_i X_i'(\tilde{r}+\frac{1}{a_i} b_i)})\\ &= -e^{a_i(1+r_f)} ( e^{-a_i X_i'(\mathbb{E}(\tilde{r})+\frac{1}{a_i} b_i)+\frac{1}{2}a^2_i X'_i\Sigma X_i}) \end{align} Ya hemos definido anteriormente $\tilde{r}\sim(\mu,\Sigma) $ .

Llevo horas mirando esto. Espero que alguien pueda ayudarme con una pista sobre lo que ocurre entre estos dos pasos.

Answer 1

La igualdad en cuestión se desprende de la expresión de la expectativa de una distribución log-normal. Por ejemplo, si $X \stackrel{d}{\sim} N(\mu, \sigma^2)$ entonces $$ E[e^{a X}] = e^{a \mu + \frac12 a^2 \sigma^2}. $$ Esta es la razón por la que las configuraciones CARA/normal o CRRA/log-normal (par de distribución de utilidad del agente/retorno del activo) se reducen al caso de la media-varianza, hasta la equivalencia de certeza.