Preferencias homotéticas y separabilidad débil

Question

Con 3 bienes (x,y,z), curvas de Engel lineales, donde z es separable de x e y, y con todas las primeras derivadas son positivas y las segundas negativas.

¿Cambia la demanda de z con el precio de x o de y? Entonces, ¿es z independiente de $p_{x}$ y $p_y$ ?

Creo que sí, porque he hecho algunos ejemplos en los que el cambio de precios no cambió la cantidad óptima de z. Sin embargo, no puedo encontrar una prueba formal.

Answer 1

EDIT: Parece que después de tu más reciente edición la respuesta sigue siendo no. Un contraejemplo relativamente simple es: $$ U(x,y,z) = \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}. $$
Esto es claramente separable y homotético. Pero $D_z$ no es independiente de $p_x$ y $p_y$ . Creo que esto queda claro sólo con ver la función de utilidad, ya que no es del tipo Cobb-Douglas. Si tienes dudas puedes calcular $D_z$ de estas ecuaciones: \begin{eqnarray*} MRS_{xz}(x,y,z) & = & \sqrt{\frac{z}{x}} = \frac{p_x}{p_z} \\ \\ MRS_{yz}(x,y,z) & = & \sqrt{\frac{z}{y}} = \frac{p_y}{p_z} \\ \\ m & = & p_x \cdot x + p_y \cdot y + p_z \cdot z. \end{eqnarray*} Entonces \begin{eqnarray*} m & = & p_x \cdot x + p_y \cdot y + p_z \cdot z \\ \\ m & = & p_x \cdot z \cdot \left(\frac{p_z}{p_x}\right)^2 + p_y \cdot z \cdot \left(\frac{p_z}{p_y}\right)^2 + p_z \cdot z \\ \\ \frac{m}{p_z}\frac{1}{\frac{p_z}{p_x} + \frac{p_z}{p_y} + \frac{p_z}{p_z}} & = & z. \end{eqnarray*} Como puede ver, ambos $p_x$ y $p_y$ Aparecerá.