Medida de riesgo convexa de la varianza

Question

Espero que me puedan ayudar con esta pregunta que me cuesta mucho. ¿Es la varianza una medida de riesgo convexa? Supongo que no, pero me resulta muy difícil encontrar un ejemplo contrario.

Aquí están mis pensamientos. Traté de encontrar un ejemplo donde: $var(\lambda X+(1-\lambda)Y))>\lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y)$ . Sé que $var(\lambda X+(1-\lambda) Y)= \lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)cov(X,Y)$ $=\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y)$ .

Ahora bien, si la correlación es máxima, en cuyo caso $corr(X,Y)=1$ entonces: $\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y)=\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda(1-\lambda)sd(X)sd(Y)=(\lambda sd(X)+(1-\lambda)sd(Y))^2$ .

Pero sigo sin encontrar ningún ejemplo en el que esto sea mayor que $\lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y)$ .

¿Puede darme alguna pista? Se lo agradezco mucho.

Answer 1

Consideremos su caso de correlación máxima. Usted está tratando de encontrar valores tales que

$$(\lambda \sigma_x+(1-\lambda)\sigma_y)^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2$$

o

$$\lambda^2 \sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)+(1-\lambda)^2\sigma_y^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2$$

o

$$\lambda(\lambda-1)\sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)-\lambda(1-\lambda)\sigma_y^2>0$$

o

$$\lambda(\lambda-1)(\sigma_x^2+\sigma_y^2)+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)>0$$

o

$$\lambda(\lambda-1)(\sigma_x-\sigma_y)^2>0$$

lo que claramente nunca es cierto para cualquier $0\leq\lambda\leq 1.$ Porque el LHS es mayor en el caso de la correlación máxima:

$$Var(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda Var( x)+(1-\lambda)Var(y)$$

y la varianza es una medida de riesgo convexa.