Quiero maximizar el rendimiento de un $n$ -cartera de activos bajo riesgo conocido: $$\max_{\{w \in \mathbb{R}^{n}|w_{1}+...+w_{n}=1\}} \; \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^{n}w_{i}R_{i}\right]$$ bajo la restricción $$ES\left(\sum_{i=1}^{n}w_{i}R_{i}\right) \le r$$ donde $ES$ es el déficit esperado, también conocido como valor en riesgo condicional (CVaR) (en algún nivel $\alpha$ ) y $r$ es el nivel de riesgo deseado.
$R_{i}$ denota el rendimiento del activo $i$ y se considera una variable aleatoria discreta compuesta por $m$ escenarios.
Por desgracia, se trata de una optimización no lineal debido a la naturaleza del déficit esperado. Además, no puedo calcular un gradiente con respecto a $w$ para el déficit esperado, por lo que incorporar el gradiente en la optimización también será imposible. ¿Cómo puedo de manera eficiente implementar esta optimización?
Recordemos que el déficit esperado en el nivel $\alpha$ es el valor medio de la cartera en la parte inferior $\alpha$ Cuantil de todos los valores posibles de la cartera.
