Problema principal-agente con dos agentes

Question

Considere el siguiente problema de agente principal. Usted es un gerente a cargo de dos trabajadores, indexados con $i=1,2$ . A cada trabajador se le pide que realice una tarea concreta, y cada uno puede trabajar duro en la tarea o holgazanear (es decir, cada trabajador puede elegir su acción $a_i\in\{a_h,a_l\}$ ).

El valor para usted de cada tarea será $\\\$ 10$ o $\\\$ 0$ . El valor viene determinado en parte por el esfuerzo del trabajador, pero también hay factores aleatorios que no están bajo el control del trabajador:

$\bullet$ Si el trabajador trabaja duro (es decir, $a_i=a_h$ ), la probabilidad de que el valor para ti de su tarea sea $\\\$ 10$ es $0.7$ . Si el trabajador holgazanea (es decir, $a_i=a_l$ ), esta probabilidad es $0.3$ ;

$\bullet$ Además, existe una correlación entre los resultados de las dos tareas. Si ambos trabajadores trabajan duro, entonces hay $0.6$ probabilidad conjunta de que cada uno produzca un $\\\$ 10$ resultado;

$\bullet$ Si los dos se aflojan, entonces hay $0.2$ probabilidad conjunta de que cada uno produzca un $\\\$ 10$ resultado;

$\bullet$ Si uno holgazanea y el otro trabaja duro, entonces hay un $0.25$ probabilidad conjunta de que cada uno produzca un $\\\$ 10$ resultado.

Cada trabajador tiene una función de utilidad $U(w,a)=\sqrt{w}-a$ , donde $w$ es la cantidad de dinero recibida, y $a=0$ para el holgazaneo y $a=0.8$ por trabajar duro. Los dos trabajadores tienen la misma función de utilidad, y cada uno tiene un nivel de utilidad de reserva de $1$ (es decir, la utilidad esperada del trabajador debe ser al menos $1$ para que el trabajador acepte el trabajo). El riesgo es neutro. El problema es el siguiente:

Suponga que desea ofrecer contratos que induzcan a ambos a trabajar duro: hay que inducir a cada trabajador a aceptar el contrato; hay que inducir a cada trabajador, suponiendo que su compañero va a trabajar duro, a trabajar duro. ¿Cuál es el contrato óptimo que hay que ofrecer?

Estoy familiarizado con el problema estándar de agente-principal, pero no puedo entender la situación de este problema y no puedo establecer las condiciones de racionalidad individual (RI) y compatibilidad de incentivos (CI).

(Como referencia, este es en realidad el problema 16.3 del libro de texto de Kreps "A Course in Microeconomic Theory". Cualquier sugerencia o pista sería muy apreciada)

Answer 1

Aunque no se menciona explícitamente en la pregunta, parece seguro suponer que el gestor puede observar por separado el resultado de cada trabajador, es decir, el valor de $v_i$ para $i=1,2$ . En este caso, las condiciones de IR e IC dependen de las condiciones exactas del contrato.

Por ejemplo, supongamos que el gerente condiciona a cada trabajador $i$ El salario de la empresa en ambos $v_i$ y $v_{-i}$ . Es decir, \begin{equation} w_i(v_i,v_{-i})= \begin{cases} w^{11}&\text{if $v_i=10,v_{-i}=10$}\\ w^{10}&\text{if $v_i=10,v_{-i}=0$}\\ w^{01}&\text{if $v_i=0,v_{-i}=10$}\\ w^{00}&\text{if $v_i=0,v_{-i}=0$} \end{cases} \end{equation}

Además, dejemos que $p_h^{11}$ denotan la probabilidad de que ambos trabajadores produzcan el resultado de alto valor (indicado por el superíndice $11$ ) cuando $i$ trabaja duro (indicado por el subíndice $h$ ) y el compañero de trabajo $-i$ también trabaja duro (suprimimos el segundo $h$ en el subíndice ya que siempre suponemos que $-i$ trabaja mucho). En notaciones más compactas, \begin{equation} p_h^{11}=\Pr(v_i=10,v_{-i}=10 \mid a_i=a_h, a_{-i}=a_h). \end{equation} Probabilidades $p_h^{10},p_h^{01},p_h^{00},p_l^{11},p_l^{10},p_l^{01},p_l^{00}$ se definen de forma similar.

Entonces, la restricción IR para el trabajador $i$ , suponiendo que el trabajador $-i$ va a trabajar duro, sería \begin{equation} p_h^{11}\sqrt{w^{11}}+p_h^{10}\sqrt{w^{10}}+p_h^{01}\sqrt{w^{01}}+p_h^{00}\sqrt{w^{00}}-a_h\ge 1. \end{equation} La restricción del CI para el trabajador $i$ , suponiendo de nuevo que el trabajador $-i$ va a trabajar duro, sería \begin{multline} p_h^{11}\sqrt{w^{11}}+p_h^{10}\sqrt{w^{10}}+p_h^{01}\sqrt{w^{01}}+p_h^{00}\sqrt{w^{00}}-a_h\\ \ge p_l^{11}\sqrt{w^{11}}+p_l^{10}\sqrt{w^{10}}+p_l^{01}\sqrt{w^{01}}+p_l^{00}\sqrt{w^{00}}-a_l.\end{multline}

A partir de la información dada por el problema, deberías ser capaz de averiguar las ocho probabilidades.

Si el salario está condicionado simplemente a $v_i$ o \begin{equation} w_i(v_i)= \begin{cases} w^1&\text{if $v_i=10$}\\ w^0&\text{if $v_i=0$} \end{cases} \end{equation} entonces el IR y el IC de cada trabajador serían \begin{align} 0.7\sqrt{w^1}+0.3\sqrt{w^0}-a_h&\ge 1 \tag{IR}\\ 0.7\sqrt{w^1}+0.3\sqrt{w^0}-a_h&\ge 0.3\sqrt{w^1}+0.7\sqrt{w^0}-a_l. \tag{IC} \end{align}