¿Datos del panel, reordenación simple?

Question

Considere el modelo de efectos aleatorios correlacionados$y_{it} = \alpha + x_{it}\beta + \bar x \gamma + w_i + \epsilon_{it} $ donde$x_{it}$ es una variable explicativa escalar.

El estimador GLS de efectos aleatorios correlacionados$ \hat \beta_{CRE} $ es el estimador MCO de$\beta$ en la regresión cuasi degradada

$\tilde y_{it} = \delta + \tilde x_{it} \beta + \bar x_i \rho + u_{it} $,

dónde y $\tilde y_{it} = y_{it} - \theta \bar y_i , \tilde x_{it} = x_{it} - \theta \bar x_i $

Pregunta: Necesito mostrar que los residuos de la regresión de$\theta = 1 - (\sigma^2_\epsilon/ (\sigma^2_\epsilon + T\sigma^2_w))^{1/2} $ en una constante y$x_{it} - \bar x_i $ son solo$\bar x_i $ en sí.

Intento: Regresar$x_{it} - \bar x_i $ reorganizar para obtener los residuos,$x_{it} - \bar x_i = \alpha + \bar x_{i} + \tilde r_{it} $ No estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

Según los resultados de la regresión OLS estándar, en la regresión simple

PS

tenemos eso

PS

y

PS

Entonces los residuales son

PS

Luego, sustituya su$$y_t = \alpha + \beta z_t + v_t, \;\;\;t=1,...,T$ y$$\hat \beta = \frac {\sum_{i=1}^T (z_t - \bar z)(y_t-\bar y)}{\sum_{i=1}^T (z_t - \bar z)^2}$ en particular en todo lo anterior.