¿Qué estoy haciendo mal en la derivación del modelo de difusión de Bass?

Question

He estado derivando el modelo de difusión de Bass y sigo encontrando un resultado diferente a la respuesta original de Bass. Para empeorar las cosas, cada enlace en la página de resultados de Google sólo copia la solución original de Bass, mientras que yo estoy encontrando la diferente. No es necesario que conozcas el modelo, sólo déjame mostrarte la parte matemática, para que puedas comprobar mi solución.

La premisa:

Tenemos dos formulaciones de la tasa de riesgo: como probabilidad condicional bayesiana y como función lineal:

\begin{equation} \frac{f(t)}{1-F(t)} = p + q F(t) \end{equation}

donde $f(t) = \frac{dF(t)}{dt}$ . Esto da la siguiente ecuación diferencial:

\begin{equation} \frac{dF(t)}{dt} = (1 - F(t)) (p + qF(t)) \end{equation}

Mi solución

Usando la regla de la cadena, reescribimos esto como

\begin{equation} \int \frac{dF(t)}{(1-F(t))(p+qF(t))} = \int dt = t \label{eq:diff} \end{equation}

Fíjate en eso:

\begin{equation} \frac{1}{(1-F(t))(p+qF(t))} = \left( \frac{1}{p+q} \right) \left( \frac{q}{p+qF(t)} + \frac{1}{1-F(t)} \right), \end{equation}

sustituyendo esto a la ecuación anterior, implica:

\begin{equation} \int \frac{q}{p+qF(t)} dF(t) - \int \frac{-1}{1-F(t)} dF(t) = (p + q) t \end{equation}

integrando los rendimientos:

\begin{equation} \log (p + qF(t)) - \log (1 - F(t)) = (p + q) t \end{equation}

utilizando las propiedades del registro:

\begin{equation} \log \left( \frac{p + qF(t)}{1 - F(t)} \right) = (p + q) t \end{equation}

o:

\begin{equation} \frac{p + qF(t)}{1 - F(t)} = e^{(p+q)t} \end{equation}

La producción cruzada de la fracción da como resultado:

\begin{equation} p + qF(t) = e^{(p+q)t} - e^{(p+q)t} F(t) \end{equation}

finalmente:

\begin{equation} (q + e^{(p+q)t}) F(t) = (e^{(p+q)t} - p) \end{equation}

o:

\begin{equation} F(t) = \frac{e^{(p+q)t} - p}{e^{(p+q)t} + q} \end{equation}

El problema:

Pero Bass, de alguna manera encontró lo siguiente:

Anulando mi respuesta no se obtiene la respuesta de Bass. Lo innecesario $q$ está arruinando todo.

¿Pueden ayudarme con esta incoherencia?

Gracias.

Answer 1

Te falta una constante de integración

$$ \log\left(\frac{p + qF(t)}{1 - F(t)}\right) = (p + q)t + \color{red}{\tilde{C}} $$

Esta constante puedes nombrarla como quieras, yo la voy a nombrar como

$$ \color{red}{\tilde{C}} = \color{blue}{C}(p + q) + \ln q $$

donde $C$ es una constante más. Así que básicamente cambié una constante por otra (completamente permitida). Ahora el problema es

\begin{eqnarray} \ln\left(\frac{p + qF(t)}{1 - F(t)}\right) &=& (p + q)t + \color{blue}{C}(p + q) + \ln q = (p + q)(t + C) + \ln q\\ p + qF(t) &=& e^{(p + q)(t + C) + \ln q}(1 - F(t)) = qe^{(p + q)(t + C)}(1 - F(t)) \\ [q + qe^{(p + q)(t + C)}]F(t)&=& qe^{(p + q)(t + C)} - p \\ F(t) &=& \frac{1}{q} \frac{qe^{(p + q)(t + C)} - p}{1 + e^{(p + q)(t + C)}} \end{eqnarray}

Reordenando un poco los términos

$$\bbox[5px,border:2px solid blue] { F(t) = \frac{1}{q}\frac{q - pe^{-(p + q)(t + C)}}{1 + e^{-(p + q)(t + C)}} } $$