Efecto del precio en la utilidad

Question

Un consumidor tiene un vector de dotación $w$ a los precios $p$ su demanda del primer bien supera su dotación; $x_1^+(p; pw)>w_1$ entonces un pequeño aumento de $p_1$ bajará su utilidad.

Estaba discutiendo esto con un amigo y él cree que se basa en la ley de walras. Los precios suben, la demanda baja y converge al equilibrio de la ley de walras para encontrar el $z(p)$ vector que hace que el exceso de demanda sea 0, el precio sube, el exceso de demanda baja, la ecuación de walras se satisface y esto es óptimo por lo que la utilidad no puede disminuir. (algo así, por lo que recuerdo)

Pero me preocupa más que tenga que ver con el efecto Renta y Sustitución que con la ley de Walras. Pero ambos estamos de acuerdo en que no bajará el nivel de utilidad. Sin embargo, estoy un poco atascado en la prueba matemática detrás de ella.

Answer 1

Eso fue difícil. La idea es la siguiente: En primer lugar, bajo los supuestos estándar, la demanda es continua. Si cambias un poco los precios, la demanda no cambiará mucho. En particular, si el exceso de demanda del primer bien era inicialmente estrictamente positivo, seguirá siendo estrictamente positivo para pequeños cambios en el precio. Ahora bien, el nuevo paquete, después de haber subido ligeramente el precio, era asequible al precio anterior y le sobraba algo de dinero para comprar más cosas. Por lo tanto, el antiguo paquete debe ser al menos tan bueno como el nuevo con algunas cosas adicionales y, por lo tanto, ser mejor que el nuevo paquete.

Hagamos esto formal: Así que dejemos $p=(p_1,p_2,\ldots,p_n)$ y $p'=(p_1+\epsilon,p_2,\ldots,p_n)$ con $\epsilon>0$ y suponemos que $x_1^*(p,pw)>w_1$ y $x_1^*(p',p'w)>w_1$ . Dejemos que $x=(x_1,\ldots,x_n)=x^*(p',p'w)$ . Primero demostramos que $px<pw.$ Sí, es cierto, $$p'x=(p_1+\epsilon)x_1+ p_2 x_2+\cdots+p_nx_n\leq(p_1+\epsilon)w_1+p_2 w_2+\cdots+p_nw_n.$$ $$(p_1+\epsilon)(x_1-w_1)+ p_2 x_2+\cdots+p_nx_n\leq p_2w_2+\cdots+p_nw_n.$$ $$p_1(x_1-w_1)+\epsilon(x_1-w_1)+ p_2 x_2+\cdots+p_nx_n\leq p_2w_2+\cdots+p_nw_n.$$ Por lo tanto, $$px=p_1x_1+ p_2 x_2+\cdots+p_nx_n\leq p_1 w_1+p_2w_2+\cdots+p_nw_n-\epsilon~\underbrace{(x_1-w_1)}_{>0}<pw.$$ Ahora, necesitamos un supuesto que garantice que un consumidor está mejor si gasta todos sus ingresos. Entonces sabemos que el consumidor está mejor bajo $x^*(p,pw)$ en la que gastarían todos sus ingresos de $pw$ en lugar de elegir el paquete $x$ que sólo cuesta $pw-\epsilon(x_1-w_1)$ . Un supuesto que garantiza que es óptimo gastar toda la renta es exactamente lo que garantiza la ley de Walras.