Detalles de la calibración del modelo Hull-White

Question

Consideremos el modelo de un factor de Hull-White

$$ \mathrm{d}r(t) = (\theta(t)-\kappa r(t))\mathrm{d}t + \sigma\mathrm{d}W(t) $$

Cuando se calibra el modelo con los datos del mercado se elige

$$ \theta(t) = \frac{\partial f^M}{\partial T}(0,t) + \kappa f^M(0,t) + \frac{\sigma^2}{2\kappa}\left(1-\mathrm{e}^{-2\kappa t}\right) $$

donde $f^M(0,T) = -\frac{\partial}{\partial T}\log(P^M(0,T))$ con la estructura de plazos de los bonos observada $P^M(0,T)$ en el momento de la calibración.

Tengo varias preguntas sobre esta calibración:

• ¿Cómo se llega a esta fórmula para $\theta(t)$ ? Siempre he leído que esto alinea el modelo con la curva cero del mercado. ¿Cómo se puede deducir que esta fórmula establece de hecho la consistencia deseada?

• ¿Cómo puedo llegar a $P^M(0,T)$ y $f^M(0,T)$ ? ¿Estoy en lo cierto al afirmar que se adopta el siguiente enfoque?

  1. Primero la curva cero $y^M(t)$ se ha calculado a partir de los instrumentos con cupones.
  2. La curva bootstrapped sólo se da en un número finito de puntos dados por los vencimientos de los instrumentos considerados. Interpolamos estos puntos (por ejemplo, mediante interpolación spline) para obtener la función $y^M(t)$ en un dominio continuo.
  3. Ahora obtenemos $P^M(0,T)$ al establecer $P^M(0,T) = \exp(-y^M(T)T)$ .
  4. En un último paso calculamos la derivada $f^M(0,T):=-\frac{\partial}{\partial T}\log (P^M(0,T)) = -\frac{\partial}{\partial T}\left(y^M(T)T\right) = -\left(\frac{\partial}{\partial T}y^M(T)\right)T - y^M(T)$

Answer 1

En cuanto a su primera pregunta: la ecuación para $\theta(t)$ se obtiene de la condición de consistencia $$ \forall T, \;\; E\left[e^{-\int_0^T r(t) dt} \right] = P^M(0,T) $$ después de un cálculo algo complicado utilizando la versión integrada de la SDE para $r$ $$ r(t)=e^{-\kappa t}r(0) + \int_0^t e^{-\kappa (t-u)} \theta(u) du + \int_0^t e^{-\kappa (t-u)} \sigma dW(u) $$

En cuanto a la segunda pregunta, sí, se hace un bootstrap de la curva cero en los instrumentos elegidos, bonos o swaps, dependiendo del mercado que se esté modelando. Puede elegir splines o cualquier otro tipo de interpolación, siempre que se puedan calcular las derivadas necesarias.

Como nota al margen, si se define $x(t) = r(t) - f^M(0,t)$ entonces la SDE para $x$ es $$ dx(t) = \left(-\kappa x(t) + \frac{\sigma^2}{2 \kappa}(1- e^{-2 \kappa t})\right) dt + \sigma dW(t) $$ Así, cuando se hace una simulación MC o esquemas de diferencias finitas se puede utilizar $x(t)$ como variable de estado, y luego simplemente añadir $f^M(0,t)$ para obtener $r(t)$ , por lo que, de hecho, hay que calcular $\frac{\partial f^M(0,t)}{\partial t}$ lo que significa que los métodos de interpolación de la curva cero que no son dos veces diferenciables sino sólo una vez (como el lineal sobre el rendimiento o el lineal sobre los descuentos logarítmicos) producirán $P^M(0,T)$ y $f^M(0,t)$ que todavía se puede utilizar con el modelo.