¿Derivación de la estrategia de equilibrio en la subasta de primer precio?

Question

Hola a todos. Necesito desesperadamente ayuda para entender algunas matemáticas de la teoría de las subastas. He estado escribiendo un trabajo de grado sobre la teoría de las subastas, y después de toda mi investigación no puedo entender un paso que el autor de un libro utiliza para derivar la estrategia de equilibrio para las subastas de primer precio bajo condiciones de valor privado independiente.
Los pasos en el proceso de derivación siguen esencialmente esto: Sea x = la valoración personal del jugador elegido, G(x) = la probabilidad de que la oferta más alta del contrario, una estadística de orden, Y_1, sea < x. \begin{equation} \beta(x) = x - \int_0^x\frac{G(y)}{G(x)} \, dy \\ \end{equation} Luego, sin mucha explicación, aparte de que "los valores están distribuidos uniformemente en [0,1]", simplemente convierte esta ecuación en \begin{equation} \beta(x) = \frac{N-1}{N}, \end{equation} Lo cual tiene sentido y es utilizable.

El libro que estoy utilizando es la Teoría de las Subastas de Vijay Krishna, y agradecería enormemente que alguien me ayudara a entender este último paso.

Answer 1

Creo que tiene una errata: la estrategia de puja de equilibrio en la subasta de primer precio que especifica debería ser $$ \beta(x) = \frac{N-1}{N}x $$

Esta es una pista que puede ayudar. La CDF de la estadística de orden, $Y_1$ es $$G(x) = x^{N-1}$$

Para ver por qué esto es así, observe que ésta es exactamente la probabilidad de que alguna cantidad dada $x$ es mayor o igual que $N-1$ variables aleatorias extraídas independientemente y distribuidas uniformemente en $[0,1]$ .

Escribiré algo más detallado cuando tenga más tiempo mañana, pero creo que esto debería servir de ayuda por ahora. (Como mínimo, te ayudará a evaluar la integral).

Answer 2

Recuerdo haberme esclavizado con la notación de este libro cuando era un mal estudiante. Me trae algunos recuerdos interesantes, algunos de los cuales pueden ayudarte.

• $F(x)$ es la distribución acumulativa de la valoración de un único licitador.
• $G(x)$ es la distribución acumulativa de la valoración del mejor postor, dado $N$ licitadores.

Para el ejemplo al que se refiere, los valores se distribuyen uniformemente a lo largo de $[0,1]$ implica $F(x) = x.$ Eso es bastante sencillo. La posibilidad de que tengas una valoración de $\frac{1}{2}$ o menos para el objeto es, bueno, $\frac{1}{2}$ . La probabilidad de que tenga al menos un valor de $1$ debe ser una probabilidad de $1$ .

Pero, ¿por qué $G(x) = x^{N-1}$ ?

Para $n =1$ la posibilidad de que su valoración sea la más grande o menos es... bueno, $1 \ (= x^0)$ .

Para $n = 2$ la posibilidad de que su valoración sea la mayor o menor es sólo la posibilidad de que el otro licitador tenga una valoración inferior a la suya, o exactamente $x$ .

Para $n = 3$ La probabilidad de que tu valoración sea la mayor o la menor es sólo la probabilidad de que los otros postores valoren el objeto menos. Como estás trabajando con valores privados independientes, puedes pensar en sus valoraciones como eventos independientes (duh), así que puedes simplemente multiplicar los eventos juntos. ( Más información sobre la probabilidad condicional aquí ). Así, por ejemplo, la probabilidad de que alguien tenga un valor menor que el tuyo es $x$ pero hay otra persona que también tiene que tener un valor menor que tú, con la misma posibilidad $x$ . La posibilidad de que ambos tengan valores más pequeños que tú es $x \cdot x = x^2$ .

Así es, cuantos más postores (valoraciones independientes) tengas.

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Así que tenemos su fórmula general para una oferta óptima en una subasta de primer precio:

$$\beta^1(x) = x - \int^x_0 \frac{G(y)}{G(x)} dy$$

Así que sustituye en $G(x)$ :

$$\beta^1(x) = x - \int^x_0 \frac{y^{N-1}}{x^{N-1}} dy$$

Evaluar:

$$= x \ - \ \biggr\lvert \frac{y^N}{Nx^{N-1}} + c\biggr\rvert^x_0$$ $$= x - \frac{x}{N} = \frac{Nx}{N} - \frac{x}{N}$$ $$\boxed{\beta^1(x) = x\frac{N - 1}{N}}$$

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El siguiente ejemplo del libro de Krishna tiene una distribución exponencial, pero sólo con dos postores. Si intentas usar la misma línea de razonamiento que usé arriba para encontrar $G(x)$ se dará cuenta de que las cosas parecen un poco difíciles, pero el autor no dice explícitamente $G(x)$ en este caso, de hecho. Trata de ver por ti mismo si entiendes por qué Krishna da la declaración útil:

$$\frac{G(y)}{G(x)} = \left[\frac{F(y)}{F(x)}\right]^{N-1}$$

para el caso genérico en el que no existe una forma funcional para las distribuciones.