¿Cómo afectan las variables explicativas de la varianza a la varianza incondicional de GARCH(1,1)?

Question

Tengo una pregunta sobre el incondicional varianza de un proceso GARCH, en el que se incluyen variables explicativas exógenas en la varianza.

El GARCH habitual modela la varianza utilizando: $$\sigma^2_t=\omega+\alpha\cdot\epsilon_{t-1}^2+\beta\cdot\sigma_{t-1}^2$$

El GARCH habitual incondicional varianza, sin variables explicativas adicionales, viene dada por:

$$\sigma^2_=\frac{\omega}{1-\alpha-\beta}$$

Mi pregunta es, si incluimos una variable explicativa $x_t$ en la ecuación de la varianza, ¿cómo cambia esto la incondicional ¿varianza?

Si el modelo es:

$$\sigma^2=\omega+\alpha\cdot\epsilon_{t-1}^2+\beta\cdot\sigma_{t-1}^2+\phi\cdot x_{t-1}$$

Mi suposición sería que en algún día $t$ la varianza incondicional cambiaría con el valor del día anterior de $x_t$ así que algo como..:

$$\sigma^2_t=\frac{\omega+\phi\cdot E[x_{t-1}|I_{t-1}]}{1-\alpha-\beta}$$

Espero que tenga sentido.

Answer 1

Su última expresión no es correcta porque, como se señala en los comentarios, usted busca la varianza incondicional, que es constante en estos modelos. debería ser

$$\sigma^2=\frac{\omega+\phi\cdot E(x)}{1-\alpha-\beta}$$

PD: Además, te falta un $t$ -subguión en su penúltima expresión.

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RESPUESTA para comentar
Utilizando una notación más explícita, podemos asume que la varianza condicional es

$${\rm Var}(u_t \mid I_{t-1}) = \omega+\alpha\cdot u_{t-1}^2+\beta\cdot {\rm Var}(u_{t-1} \mid I_{t-2})+\phi\cdot x_{t-1}$$

Tomar las expectativas a través de

$$E\big[{\rm Var}(u_t \mid I_{t-1})\big] = \omega+\alpha\cdot E(u_{t-1}^2)+\beta\cdot E\big[{\rm Var}(u_{t-1} \mid I_{t-2})\big]+\phi\cdot E(x_{t-1}) \tag{1}$$

Ahora, por la Ley de la Varianza Total,

$${\rm Var}(u_t) = E\big[{\rm Var}(u_t \mid I_{t-1})\big] + {\rm{Var}}\big[E(u_t \mid I_{t-1})\big]$$

Bajo el supuesto $E(u_t \mid I_{t-1}) = 0 \implies E(u_t) = 0$ obtenemos la relación

$${\rm Var}(u_t) = E\big[{\rm Var}(u_t \mid I_{t-1})\big] \tag{2}$$

y se retrasa una vez,

$${\rm Var}(u_{t-1}) = E\big[{\rm Var}(u_{t-1} \mid I_{t-2})\big] \tag{3}$$

Otro supuesto es que $u$ es homoscedástica incondicionalmente. Esto, junto con $E(u_t)=0$ significa

$${\rm Var}(u_t) = {\rm Var}(u_{t-1}) = E(u^2) \tag{4}$$

Por último, otro supuesto es que el $x$ se distribuyen idénticamente en el tiempo, por lo que $E(x_{t-1}) = E(x)$ .

Utilizando todo esto en $(1)$ obtenemos

$${\rm Var}(u) = \omega+\alpha\cdot {\rm Var}(u)+\beta\cdot {\rm Var}(u)+\phi\cdot E(x) $$

$$\implies {\rm Var}(u) =\frac{\omega+\phi\cdot E(x)}{1-\alpha-\beta}$$