¿Qué forma de "U" tiene el CVA (Coste Medio Variable) debido al principio de las proporciones variables?
¿Cómo se relacionan el coste variable medio (CVA) y el producto marginal (PM)?
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tdm
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La definición del principio de proporción variable la obtuve de este sitio
Dice así:
... significa que hasta la utilización de una determinada cantidad de factor variable, el producto marginal del factor puede aumentar y a partir de una determinada etapa comienza a disminuir.
La siguiente es una derivación técnica. Véase la imagen del final para ilustrar los distintos resultados.
Denota por $X$ la variable de entrada y por $Q = {\cal Q}(X)$ la producción producida por la cantidad $X$ . El producto marginal puede expresarse mediante la primera derivada $MP(X) = {\cal Q}'(X)$ . El aumento o disminución del producto marginal dice entonces algo sobre la derivada de segundo orden $MP'(X) = {\cal Q}''(X)$ .
El principio de las proporciones variables establece entonces que $MP'(X)$ es primero positivo y luego negativo.
período
cambiar
signo de $MP(X) = {\cal Q}'(X)$
signo de $MP'(X) = {\cal Q}''(X)$
1
el producto marginal aumenta
$>0$
$> 0$
2
el producto marginal disminuye
$> 0$
$< 0$
Dado que ${\cal Q}'(X) > 0$ podemos invertir ${\cal Q}(X)$ para obtener $X = {\cal X}(Q)$ que da la cantidad de entrada variable que produce $Q$ Entonces como la siguiente identidad se mantiene para todo $X$ : $$ {\cal X}(Q(X)) = X, $$ Podemos tomar la derivada de ambos lados y obtener: $$ {\cal X}'({\cal Q}(X))\,\, {\cal Q}'(X) = 1 \iff {\cal X}'(Q) = \frac{1}{{\cal Q}'(X)}. $$ y tomar derivados una vez más da: $$ {\cal X}''({\cal Q}(X)) \,\,({\cal Q}'(X))^2 + {\cal X}'({\cal Q}(X))\,\,{\cal Q}''(X) = 0 \iff {\cal X}''(Q) = -\frac{{\cal X}'({\cal Q}(X))\,\, {\cal Q}''(X)}{({\cal Q}'(X))^2}. $$ Esto nos permite completar la tabla:
período
cambio en $Q$
signo de ${\cal Q}'(X)$
signo de ${\cal Q}''(X)$
signo de ${\cal X}'(Q)$
signo de ${\cal X}''(Q)$
1
el producto marginal aumenta
$>0$
$> 0$
$> 0$
$<0$
2
el producto marginal disminuye
$> 0$
$< 0$
$> 0$
$>0$
Ahora, echemos un vistazo al coste variable. Si $w$ es el precio unitario de un insumo $X$ , entonces los costes variables totales son: $$ VC(Q) = w {\cal X}(Q). $$ Los costes marginales son la derivada de los costes variables: $$ MC(Q) = VC'(Q) = w {\cal X}'(Q) $$ El Los costes marginales son primero decrecientes y luego crecientes.
prueba : se deduce de la tabla anterior que ${\cal X}''(Q)$ es primero negativo y luego positivo.
El coste variable medio es el coste variable dividido por la producción: $$ AVC(Q) = \frac{w {\cal X}(Q)}{Q}. $$
Ahora veamos cómo el $AVC(Q)$ varía con $Q$ (que puede expresarse mediante la derivada $AVC'(Q)$ ). Lo tenemos: $$ AVC'(Q) = \frac{(w {\cal X}'(Q))Q - (w{\cal X}(Q))}{Q ^2} = \frac{MC(X) - AVC(Q)}{Q},\\ $$ El $AVC(Q)$ es decreciente si $MC(Q) < AVC(Q)$ y aumentando si $MC(Q) > AVC(Q)$ . Si $AVC(Q)$ está en un mínimo (o máximo) entonces $MC(Q) = AVC(Q)$ .
prueba: se deduce de la ecuación anterior ya que el signo de $AVC'$ depende del signo de $MC - AVC$ .
A continuación se muestra que para $Q = 0$ Los costes medios y marginales son idénticos.
El Si $MC(0)$ existe, entonces $MC(0) = AVC(0)$ .
prueba : Tenemos que $AVC(Q) = w {\cal X}(Q)/Q$ . Utilizando l'Hospital, al tomar el límite de $Q \to 0$ , da $AVC(0) = w {\cal X}'(0) = MC(0)$ .
A continuación se muestra que, en principio, para valores bajos de $Q$ El $AVC$ será cada vez menor.
El para $Q$ lo suficientemente pequeño, $MC < AVC$ y por lo tanto $AVC$ está disminuyendo.
prueba Supongamos que no, entonces $MC > AVC$ en algún barrio $]0, Q[$ lo que significa que $AVC$ está aumentando. Además, sabemos que $MC$ es inicialmente decreciente. A medida que $MC(0) = AVC(0)$ Esto significa que $AVC > MC$ en $]0,Q[$ una contradicción.
A continuación se muestra que el $MC$ -curvas corta el $AVC$ - curva desde abajo.
El dejar $Q^\ast$ sea el primer punto donde $MC(Q^\ast) = AVC(Q^\ast)$ entonces $MC'(Q^\ast) > 0$ Así que el $MC$ -La curva corta el $AVC$ - curva desde abajo.
prueba: Por el resultado anterior, sabemos que un poco antes de $Q^\ast$ , $MC < AVC$ y en $Q^\ast$ , $MC = AVQ$ así que $(MC - AVQ)' > 0$ en $Q^\ast$ . Calculando esta derivada, se observa que $MC' - \frac{MC - AVC}{Q} > 0$ . Como $MC = AVC$ en $Q^\ast$ tenemos $MC'(Q^\ast) > 0$ .
A continuación se muestra que el $MC$ -La curva corta el $AVC$ -curva como máximo una vez.
El dejar $Q^\ast$ sea el primer punto donde $MC(Q^\ast) = AVC(Q^\ast)$ y que $Q > Q^\ast$ entonces $MC(Q) > AVC(Q)$ y por lo tanto $AVC$ está aumentando. Por lo tanto, hay como máximo un punto en el que el $MC$ es igual al $AVC$ .
prueba : Al $Q^\ast$ , $MC$ está en su parte creciente, tenemos (a partir de la tabla anterior) que $MC(Q) > 0$ para todos $Q \ge Q^\ast$ Además, como $AVC(Q^\ast) = MC(Q^\ast)$ y $MC'(Q^\ast) > 0$ y $AVC'(Q^\ast) = 0$ tenemos para $Q > Q^\ast$ lo suficientemente cerca de $Q^\ast$ que $MC(Q) > AVC(Q)$ . Así que $AVC(Q)$ es creciente para todos los $Q> Q^\ast$ lo suficientemente cerca de $Q$ .
A continuación, para tales $Q$ , $(MC(Q) - AVC(Q))' = MC'(Q) + (MC(Q) - AVC(Q))/Q > 0$ por lo que la distancia entre $MC(Q)$ y $AVC(Q)$ es creciente. Esto significa que la distancia entre $MC(Q)$ y $AVC(Q)$ crecerá cada vez más. Como tal, las dos curvas nunca volverán a ser iguales, así que $MC(Q) > AVC(Q)$ para todos $Q > Q^\ast$ .
La situación final puede verse en la siguiente imagen. El $MC$ curva es primero decreciente y luego creciente. En $Q = 0$ los dos son iguales. Primero el $MC$ la curva obtiene su mínimo. Luego, en su parte creciente, corta la $AVC$ curva en el punto donde el $AVC$ curva está en su mínimo. Después de este punto, la distancia entre los $MC$ y $AVC$ La curva crece cada vez más, por lo que las dos curvas no se vuelven a cruzar, y ambos cortes siguen aumentando.
