¿Qué forma de "U" tiene el CVA (Coste Medio Variable) debido al principio de las proporciones variables?

Question

¿Qué forma de "U" tiene el CVA (Coste Medio Variable) debido al principio de las proporciones variables?

¿Cómo se relacionan el coste variable medio (CVA) y el producto marginal (PM)?

Answer 1

La definición del principio de proporción variable la obtuve de este sitio

Dice así:

... significa que hasta la utilización de una determinada cantidad de factor variable, el producto marginal del factor puede aumentar y a partir de una determinada etapa comienza a disminuir.

La siguiente es una derivación técnica. Véase la imagen del final para ilustrar los distintos resultados.

Denota por $X$ la variable de entrada y por $Q = {\cal Q}(X)$ la producción producida por la cantidad $X$ . El producto marginal puede expresarse mediante la primera derivada $MP(X) = {\cal Q}'(X)$ . El aumento o disminución del producto marginal dice entonces algo sobre la derivada de segundo orden $MP'(X) = {\cal Q}''(X)$ .

El principio de las proporciones variables establece entonces que $MP'(X)$ es primero positivo y luego negativo.

período

cambiar

signo de $MP(X) = {\cal Q}'(X)$

signo de $MP'(X) = {\cal Q}''(X)$

1

el producto marginal aumenta

$>0$

$> 0$

2

el producto marginal disminuye

$> 0$

$< 0$

Dado que ${\cal Q}'(X) > 0$ podemos invertir ${\cal Q}(X)$ para obtener $X = {\cal X}(Q)$ que da la cantidad de entrada variable que produce $Q$ Entonces como la siguiente identidad se mantiene para todo $X$ : $${\cal X}(Q(X)) = X,$$ Podemos tomar la derivada de ambos lados y obtener: $${\cal X}'({\cal Q}(X))\,\, {\cal Q}'(X) = 1 \iff {\cal X}'(Q) = \frac{1}{{\cal Q}'(X)}.$$ y tomar derivados una vez más da: $${\cal X}''({\cal Q}(X)) \,\,({\cal Q}'(X))^2 + {\cal X}'({\cal Q}(X))\,\,{\cal Q}''(X) = 0 \iff {\cal X}''(Q) = -\frac{{\cal X}'({\cal Q}(X))\,\, {\cal Q}''(X)}{({\cal Q}'(X))^2}.$$ Esto nos permite completar la tabla:

período

cambio en $Q$

signo de ${\cal Q}'(X)$

signo de ${\cal Q}''(X)$

signo de ${\cal X}'(Q)$

signo de ${\cal X}''(Q)$

1

el producto marginal aumenta

$>0$

$> 0$

$> 0$

$<0$

2

el producto marginal disminuye

$> 0$

$< 0$

$> 0$

$>0$

Ahora, echemos un vistazo al coste variable. Si $w$ es el precio unitario de un insumo $X$ , entonces los costes variables totales son: $$VC(Q) = w {\cal X}(Q).$$ Los costes marginales son la derivada de los costes variables: $$MC(Q) = VC'(Q) = w {\cal X}'(Q)$$ El Los costes marginales son primero decrecientes y luego crecientes.

prueba : se deduce de la tabla anterior que ${\cal X}''(Q)$ es primero negativo y luego positivo.

El coste variable medio es el coste variable dividido por la producción: $$AVC(Q) = \frac{w {\cal X}(Q)}{Q}.$$

Ahora veamos cómo el $AVC(Q)$ varía con $Q$ (que puede expresarse mediante la derivada $AVC'(Q)$ ). Lo tenemos: $$AVC'(Q) = \frac{(w {\cal X}'(Q))Q - (w{\cal X}(Q))}{Q ^2} = \frac{MC(X) - AVC(Q)}{Q},\\ $$ El $AVC(Q)$ es decreciente si $MC(Q) < AVC(Q)$ y aumentando si $MC(Q) > AVC(Q)$ . Si $AVC(Q)$ está en un mínimo (o máximo) entonces $MC(Q) = AVC(Q)$ .

prueba: se deduce de la ecuación anterior ya que el signo de $AVC'$ depende del signo de $MC - AVC$ .

A continuación se muestra que para $Q = 0$ Los costes medios y marginales son idénticos.

El Si $MC(0)$ existe, entonces $MC(0) = AVC(0)$ .

prueba : Tenemos que $AVC(Q) = w {\cal X}(Q)/Q$ . Utilizando l'Hospital, al tomar el límite de $Q \to 0$ , da $AVC(0) = w {\cal X}'(0) = MC(0)$ .

A continuación se muestra que, en principio, para valores bajos de $Q$ El $AVC$ será cada vez menor.

El para $Q$ lo suficientemente pequeño, $MC < AVC$ y por lo tanto $AVC$ está disminuyendo.

prueba Supongamos que no, entonces $MC > AVC$ en algún barrio $]0, Q[$ lo que significa que $AVC$ está aumentando. Además, sabemos que $MC$ es inicialmente decreciente. A medida que $MC(0) = AVC(0)$ Esto significa que $AVC > MC$ en $]0,Q[$ una contradicción.

A continuación se muestra que el $MC$ -curvas corta el $AVC$ - curva desde abajo.

El dejar $Q^\ast$ sea el primer punto donde $MC(Q^\ast) = AVC(Q^\ast)$ entonces $MC'(Q^\ast) > 0$ Así que el $MC$ -La curva corta el $AVC$ - curva desde abajo.

prueba: Por el resultado anterior, sabemos que un poco antes de $Q^\ast$ , $MC < AVC$ y en $Q^\ast$ , $MC = AVQ$ así que $(MC - AVQ)' > 0$ en $Q^\ast$ . Calculando esta derivada, se observa que $MC' - \frac{MC - AVC}{Q} > 0$ . Como $MC = AVC$ en $Q^\ast$ tenemos $MC'(Q^\ast) > 0$ .

A continuación se muestra que el $MC$ -La curva corta el $AVC$ -curva como máximo una vez.

El dejar $Q^\ast$ sea el primer punto donde $MC(Q^\ast) = AVC(Q^\ast)$ y que $Q > Q^\ast$ entonces $MC(Q) > AVC(Q)$ y por lo tanto $AVC$ está aumentando. Por lo tanto, hay como máximo un punto en el que el $MC$ es igual al $AVC$ .

prueba : Al $Q^\ast$ , $MC$ está en su parte creciente, tenemos (a partir de la tabla anterior) que $MC(Q) > 0$ para todos $Q \ge Q^\ast$ Además, como $AVC(Q^\ast) = MC(Q^\ast)$ y $MC'(Q^\ast) > 0$ y $AVC'(Q^\ast) = 0$ tenemos para $Q > Q^\ast$ lo suficientemente cerca de $Q^\ast$ que $MC(Q) > AVC(Q)$ . Así que $AVC(Q)$ es creciente para todos los $Q> Q^\ast$ lo suficientemente cerca de $Q$ .

A continuación, para tales $Q$ , $(MC(Q) - AVC(Q))' = MC'(Q) + (MC(Q) - AVC(Q))/Q > 0$ por lo que la distancia entre $MC(Q)$ y $AVC(Q)$ es creciente. Esto significa que la distancia entre $MC(Q)$ y $AVC(Q)$ crecerá cada vez más. Como tal, las dos curvas nunca volverán a ser iguales, así que $MC(Q) > AVC(Q)$ para todos $Q > Q^\ast$ .

La situación final puede verse en la siguiente imagen. El $MC$ curva es primero decreciente y luego creciente. En $Q = 0$ los dos son iguales. Primero el $MC$ la curva obtiene su mínimo. Luego, en su parte creciente, corta la $AVC$ curva en el punto donde el $AVC$ curva está en su mínimo. Después de este punto, la distancia entre los $MC$ y $AVC$ La curva crece cada vez más, por lo que las dos curvas no se vuelven a cruzar, y ambos cortes siguen aumentando.