Bueno, creo que puedo haber resuelto esto Así que aquí va:
Supongamos que se valora la opción en el momento $t$ con tiempo de preaviso para el ejercicio $t_N$ y la fecha de ejercicio (pago) de $t_E > t_N$ . Supongamos que uno está interesado en el valor de una opción de compra sobre algún bono con valor $B(t)$ y la huelga $K$ . Dejemos que $D(t_1,t_2)$ denotan el factor de descuento de $t_1$ a $t_2$ .
Entonces el valor de la opción viene dado por:
$$V(t) = \widetilde{\mathbb{E}} \left[ D(t,t_E) P(t_E) | \mathcal{F}_t \right]$$
Dónde $P(t_E)$ es el pago de la opción en el momento $t_E$ . Este pago es igual a $(B(t_E) - K)$ o 0 dependiendo de si se decide ejercer en el momento $t_N$ . Por lo tanto, dejemos que $A$ denotan el caso de que se decida ejercer la opción en $t_N$ . Suponiendo un ejercicio racional, uno ejercería precisamente cuando la recompensa esperada es positiva en $t_N$ es decir, cuando:
$$\widetilde{\mathbb{E}} \left[D(t_N, t_E) (B(t_E) - K) | \mathcal{F}_{t_N} \right] > 0$$
Si utilizamos la notación $F(t_N, B(t_E), K)$ para denotar el valor del contrato a plazo en el momento $t_N$ sobre la fianza $B$ con huelga $K$ y caducidad $t_E$ este evento viene dado simplemente por $F(t_N, B(t_E), K) > 0$ . Así tenemos:
$$\mathbb{I}_A = \mathbb{I}_{\left\{F(t_N, B(t_E), K) > 0\right\}}$$
Por lo tanto, podemos escribir el pago en términos de este evento $A$ a través de:
$$P(t_E) = (B(t_E) - K) \mathbb{I}_A$$
Obsérvese que esta retribución puede ser negativa si la opción estaba (previsiblemente) in-the-money en $t_N$ pero finalmente estaba fuera del dinero en $t_E$ . Si se introduce este valor en el precio para resolver $V(t)$ uno recibe:
$$\begin{align*} V(t) &= \widetilde{\mathbb{E}} \left[ D(t,t_E) P(t_E) | \mathcal{F}_t \right] \\ &= \widetilde{\mathbb{E}} \left[ D(t,t_E) (B(t_E) - K) \mathbb{I}_A | \mathcal{F}_t \right] \\ &= \widetilde{\mathbb{E}} \left[ \widetilde{\mathbb{E}} \left[ D(t,t_E) (B(t_E) - K) \mathbb{I}_A | \mathcal{F}_{t_N} \right] | \mathcal{F}_t \right]\\ &= \widetilde{\mathbb{E}} \left[ D(t,t_N) \mathbb{I}_A \underbrace{\widetilde{\mathbb{E}} \left[ D(t_N,t_E) (B(t_E) - K) | \mathcal{F}_{t_N} \right]}_{F(t_N, B(t_E), K)} | \mathcal{F}_t \right]\\ &= \widetilde{\mathbb{E}} \left[ D(t,t_N) \mathbb{I}_{\left\{F(t_N, B(t_E), K) > 0\right\}} F(t_N, B(t_E), K) | \mathcal{F}_t \right]\\ &= \widetilde{\mathbb{E}} \left[ D(t,t_N) F(t_N, B(t_E), K)^+ | \mathcal{F}_t \right]\\ &= \widetilde{\mathbb{E}} \left[ D(t,t_N) \widetilde{\mathbb{E}} \left[D(t_N, t_E) (B(t_E) - K) | \mathcal{F}_{t_N} \right]^+ | \mathcal{F}_t \right]\\ \end{align*}$$
Esto se puede interpretar de la siguiente manera cuando se utiliza una red de precios:
- Calcule los pagos en $t_E$ para ejercer las opciones de compra tanto si están dentro como fuera del dinero.
- Descuenta los pagos a $t_N$ y tomar el valor esperado.
- Tome el máximo del valor anterior y 0 y asigne ese valor a la opción para cada nodo en $t_N$ .
- Descontando los valores de (3) a $t$ para obtener $V(t)$ .
