Derivar la función de utilidad con sustitutos y complementos

Question

Sé que en el mundo de los 2 bienes es fácil derivar las funciones de demanda a partir de una función de utilidad para sustitutos o complementos imperfectos, pero ¿qué pasa si tengo N bienes que incluyen muchas combinaciones de sustitutos y complementos?

Por ejemplo, si tienes perritos calientes $D$ , hamburguesas $H$ (sustitutos unos de otros), y la mostaza $M$ , mayo $Y$ (sustitutos unos de otros, complementos con perritos calientes y hamburguesas), puedo probar algo así:

$$ U(D, H, M, Y) = (D^{0.5} + H^{0.5})(M^{0.5} + Y^{0.5}) $$

Desgraciadamente, las matemáticas se vuelven bastante peliagudas en este caso con bastante rapidez. Antes de sumergirme mucho más en la resolución de estas ecuaciones, ¿hay alguna función bien conocida que se utilice en la literatura para este tipo de análisis?

Nota: Me interesa el caso más general de N-buenos, no sólo el de 4 buenos.

Answer 1

La forma general de hacerlo sería utilizando una función CES anidada. CES Wikipedia

Para su ejemplo, podría definir la utilidad de los sándwiches (S) y los condimentos (C) como

$$ U(D,H,M,Y) = (a_1 S^{\frac{s-1}{s}} + a_2 C^{\frac{s-1}{s}})^{\frac{s}{s-1}} $$ entonces puede definir $S$ y $C$ "nidos" como $$ S = (b_1 D^{\frac{\rho-1}{\rho}} + b_2 H^{\frac{\rho-1}{\rho}})^{\frac{\rho}{\rho-1}} $$ $$ C = (c_1 M^{\frac{\eta-1}{\eta}} + c_2 Y^{\frac{\eta-1}{\eta}})^{\frac{\eta}{\eta-1}} $$

$s$ determina si S y C son complementos ( $s \rightarrow 0$ ) o sustitutos ( $s \rightarrow \infty$ ), o ninguno ( $s=1$ ).

Lo mismo ocurre con $\rho$ y $\eta$ en los "nidos". $a$ , $b$ y $c$ establecer la importancia relativa de cada elemento dentro de un nido.

Si lo ampliamos a $N$ puede tener un número arbitrario de nidos y un número arbitrario de elementos dentro de cada nido. Esta forma puede parecer complicada, pero tiene mucha flexibilidad y te da buenas derivadas al resolver problemas de maximización.