¿Predice el Equilibrio de Nash la existencia de reticencias a las vacunas?

Question

Estaba escuchando una conferencia sobre el Equilibrio de Nash, en la que se decía que un Equilibrio de Nash, por definición, se produce en un punto en el que ningún jugador del juego tiene un incentivo para cambiar su estrategia: todos juegan su mejor respuesta a todos los demás. Sin embargo, se me ocurrió: me parece que una tasa de vacunación del 100% es no un Equilibrio de Nash porque la inmunidad de rebaño para una buena vacuna probablemente ocurriría mucho antes que eso - una vez que la inmunidad de rebaño se logra, las personas no vacunadas tendrían mucho menos incentivo para cambiar su estrategia y vacunarse.

¿Me estoy perdiendo algo, o el equilibrio de Nash se produce exactamente en el punto en el que se alcanza la inmunidad de rebaño: nadie se arrepiente de su decisión ni desea haber elegido una estrategia diferente, y nadie tiene incentivos para cambiar su estrategia? (Para cualquier biólogo que esté leyendo, sí, me doy cuenta de que estoy siendo muy simplista sobre cómo funcionan realmente las vacunas y la inmunidad de rebaño).

Dicho esto, si estoy en lo cierto, ¿la teoría del juego predice que algunas personas serían reacias a vacunarse simplemente porque están "gorroneando" (a falta de un término mejor) a las personas que ya se vacunaron?

Answer 1

Depende de cómo se construya el juego. Puedes tener juegos con varios equilibrios de Nash, con un equilibrio de estrategia dominante (que es un caso especial de equilibrio de Nash) o sin ningún equilibrio.

Consideremos un juego con 3 jugadores, en el que la inmunidad de rebaño se alcanza al 40% y en el que los jugadores incurren en un pequeño coste por vacunarse y obtienen una gran ganancia cuando se alcanza la inmunidad de rebaño. En este caso tenemos 3 equilibrios de Nash (cuando 2 jugadores deciden vacunarse, nadie tiene incentivos para desviarse).

En otra partida puedes tener 3 jugadores a los que no les importa la inmunidad de rebaño, pero que quieren hacerse inmunes (digamos que la enfermedad puede volver en cualquier momento). En este caso, tenemos un equilibrio de estrategia dominante: todos se vacunan.

Por último, construyamos un juego con 2 jugadores, en el que la inmunidad de rebaño se alcanza al 40%. En este escenario, los jugadores incurren en un pequeño coste por vacunarse, y un coste mayor si son el único jugador que se vacuna [1]. De nuevo, la inmunidad de rebaño da una ganancia. Esto puede modelarse con una matriz de pagos como la siguiente

PlayerA Vax

PlayerA No Vax

Jugador B Vax

1,1

2,-1

Jugador B No Vax

-1,2

0,0

entonces el juego no tiene un equilibrio de Nash (te habrás dado cuenta de que esta es la misma matriz de pagos del dilema del prisionero).

Para responder a su pregunta, un juego que incluye la reticencia a las vacunas puede tener varios equilibrios o ninguno. La reticencia a las vacunas es un a-priori de su modelo, que puede ser tenido en cuenta al construir la matriz de pagos. Entonces se puede analizar el juego y tratar de predecir los posibles resultados.

[1] Por ejemplo, si los jugadores son miembros de una comunidad/grupo antivacunas, pueden incurrir en un coste de reputación si otros miembros no se vacunan.

Answer 2

Aquí hay muchas formas de hacerlo. Como decía Didymus, realmente depende de cómo se decida modelar el fenómeno. Yo propongo un juego en el que los jugadores tienen diferentes funciones de pago. De hecho, tener un gran número de jugadores con preferencias heterogéneas es probablemente un modelo más realista del fenómeno que intentamos describir y permite obtener situaciones en las que no todo el mundo se vacuna, pero vamos a intentar mantener el juego lo más simple posible. Asumiré que el juego es simúltanea, ya que este es el marco en el que el Equilibrio de Nash tiene sentido.

Imagina un juego con N jugadores, cada uno de ellos puede elegir VAX o NO-VAX . Existe un umbral de "inmunidad de rebaño" n . Dividamos a los jugadores en tres grupos (A, B y K)

Descripción de los jugadores:

Supongamos que una parte A (menor que N) de ellos tienen una función de pago que hace que VAX sea una estrategia estrictamente dominante. Puede tratarse de personas que creen en las vacunas pase lo que pase, o de personas que quieren vacunarse porque tienen miedo a la enfermedad y quieren evitar enfermar gravemente.

Supongamos también que una parte B (lo suficientemente pequeño como para que A + B sea menor o igual a N) tiene a NO-VAX como estrategia estrictamente dominante.

Por último, digamos que el resto de la población K (igual a N menos A menos B) está preocupado por el aspecto epidémico de la enfermedad, pero a estos agentes no les gusta la idea de vacunarse y ven la vacuna como un coste (digamos, -3). Por lo tanto, se vacunarán si esto conduce a la inmunidad de grupo, pero prefieren no hacerlo. Las funciones de recompensa de estos agentes son las siguientes:

i) si el número total de personas que se vacunan supera el umbral de inmunidad de rebaño (n), y el jugador i eligió NO-VAX, jugador i consigue 10;

ii) si el número total de personas que se vacunan está por debajo de la inmunidad de rebaño y el jugador i eligió NO-VAX, jugador i obtiene 0;

iii) si el número total de personas que se vacunan es superior al umbral de inmunidad de rebaño (n), y el jugador i eligió VAX, obtiene 7;

iv) si el número total de personas que se vacunan está por debajo de la inmunidad de rebaño y el jugador i eligió VAX, obtiene -3;

Análisis del equilibrio de Nash

Antes de empezar, vamos a distinguir en diferentes casos. Los casos 1, 2 y 3 son inmediatos y quizás no interesantes, pero muestran formas fáciles de obtener Equilibrios de Nash con comportamientos heterogéneos. Pasemos directamente al caso 4 para ver algo más interesante.

1. A + B = N (caso más sencillo: todos los jugadores tienen estrategias estrictamente dominantes)

En este caso, el único Equilibrio de Nash es: los jugadores del grupo A juegan al VAX, los jugadores del grupo B juegan al NO-VAX. (Y esto significa que si A es más pequeño que el umbral de inmunidad del rebaño n, entonces no se alcanzará la inmunidad del rebaño)

2. A + B < N (algunos jugadores no tienen estrategia dominante) y K + A < n (no se puede alcanzar la inmunidad de rebaño)

Como antes, los jugadores de A eligen VAX y los de B eligen NO-VAX. Como no se puede alcanzar la inmunidad de rebaño, los jugadores del grupo K no obtendrán ningún beneficio al vacunarse. Como estos agentes ven que vacunarse es un coste, todos elegirán NO-VAX.

3. A + B < N (algunos jugadores no tienen estrategia dominante) y A > n (la inmunidad de rebaño se alcanza automáticamente, sólo con los agentes del grupo A)

Como antes, los jugadores de A eligen VAX y los de B eligen NO-VAX. Aquí hay un (único, creo) Equilibrio de Nash en el que todos los jugadores de A eligen VAX, y todos los jugadores de B y K eligen NO-VAX. Los agentes de K eligen NO-VAX porque el umbral de inmunidad de rebaño se alcanza incluso sin ellos, por lo que pueden disfrutar del beneficio de la inmunidad de rebaño sin soportar los costes de tomar la vacuna. (Obtienen 10 con NO-VAX y 7 con VAX, por lo que no hay desviación rentable aquí)

4. A + B < N (algunos jugadores no tienen estrategia dominante) y K + A > n (se puede alcanzar la inmunidad de rebaño)

Aquí llegamos al caso "interesante". Como siempre, los jugadores del grupo A eligen todos VAX y los del B eligen todos NO-VAX. Ahora bien, suponemos que n es el número de personas vacunadas que conduciría a la inmunidad de rebaño. Por lo tanto, todavía necesitamos (n - A) jugador para elegir el VAX con el fin de obtener la inmunidad de la manada. Existe un equilibrio nash en el que z (= n - A) Los jugadores del grupo K eligen VAX y los demás NO-VAX. Para estar seguros de que se trata de un Equilibrio de Nash, tenemos que comprobar que no hay ninguna desviación rentable para un jugador, DADAS las acciones de los otros jugadores. Podemos centrarnos sólo en los jugadores del grupo K, ya que los jugadores de los grupos A y B tienen estrategias estrictamente dominantes.

• el jugador i se encuentra en el grupo z (los que juegan al VAX): recompensa = 7

       Say that player i deviates and plays NO-VAX. What happens? We take others'  
       actions as given, so there are (z - 1) + A < n  players choosing VAX: 
       herd-immunity is not reached. 
       Player i obtains a payoff of 0 < 7. Hence, player i has no profitable 
       deviation.

• el jugador i no está en el grupo z (los que juegan al VAX): pago = 10 (está jugando al NO-VAX)

       Herd-immunity has already been reached. If player i chooses VAX, he gets
       7 < 10. Hence, player i has no profitable deviation.