Por supuesto que sí. Si hiciste el trabajo que se esperaba de ti, y había un acuerdo de antemano (incluso verbal), entonces esperaría que les enviara una factura.
Puede que este cliente decida no pagarlo, dado que "no lo has arreglado tú", pero aún así tienes que demostrar que tu tiempo es valioso. Con suerte, lección aprendida.
En un trabajo anterior, cuando trabajaba para una tienda de tecnología, ¡teníamos gente que intentaba venir a pedir consejo gratis todo el tiempo! Les ofrecía una o dos frases para una solución que la gente entendiera, y si pedían más detalles, les explicaba nuestra tarifa por hora. Algunas personas no se inmutan ante el coste, otras se ponen a la defensiva e intentan evitarlo. Mantente firme y no te des por vencido: no has aprendido todo lo que sabes de forma gratuita para dárselo a todo el que te lo pida, ¿verdad?
En el futuro, yo explicaría en el presupuesto que esperas que se cumplan X Y y Z condiciones, para facilitar que completes tu trabajo lo más cerca posible de lo que dice el presupuesto. Si tienes que revisar un sitio web, explica que necesitarás acceso de administrador al servicio de alojamiento para hacer tu trabajo. Puede explicar por qué Pero hay que saber lo que se necesita para hacer el trabajo, como profesional.
Cuando hago consultoría de sitios web, conozco mis límites, y me aseguro de que el cliente lo entienda (es decir, no hago ningún trabajo de diseño en absoluto - revisa mi blog, es sólo el tema por defecto). Puedo hacer todas las cosas de back-end del servidor, y ejecutar bastantes sitios de esta manera, y decirle al cliente que necesitan contratar a un profesional para hacer ciertas cosas que no puedo, y les animo a tener el contacto profesional conmigo. Les permito el acceso supervisado, o les pido que me envíen los archivos por FTP directamente, y luego los publico. Como administrador del servidor, me permite hacer copias de seguridad y cubrirme las espaldas en caso de que el otro profesional estropee algo en particular.
Si haces muchos trabajos gratis, el cliente va a esperar que sigas haciendo trabajos gratis, incluso fuera del ámbito de lo que puedes manejar. Manténgase firme, cobre después de un cierto tiempo o explique por qué no puede continuar como estaba previsto.