La función de utilidad implica el consumo de no todos los bienes

Question

Supongamos que tenemos una función de utilidad con tres entradas, $j, k,$ y $s$ descrito por $$u(j,k,s) = A\ln(k^\alpha + \beta j^\alpha) + B\ln(s).$$ El precio de $j, k,s$ son $p_j, p_k, p_s$ , respectivamente, y no podemos gastar más de la cantidad $Y.$

Se nos pide que encontremos condiciones en las que el resultado optimizado sea consumir sólo dos de las tres entradas. En otras palabras, deseamos encontrar condiciones en las que una de las entradas no se consuma en absoluto.

¿Existe una forma sistemática de abordar este tipo de problemas? He intentado tomar las utilidades marginales con respecto a cada bien, y encontrar un caso en el que exactamente uno de los bienes era negativo para todos $j, k, s \geq 0$ pero no creo que sea el camino correcto.

Answer 1

Podría haber una forma sistemática (por ejemplo, alguna variación del método del gradiente), pero probablemente no sea trivial (véase aquí ), a diferencia de este problema.

Comprobando $U(j,k,0)$ , $U(j,0,s)$ y $U(0,k,s)$ En el caso de los bienes que no tienen consumo, se encontrará que uno de ellos no puede producirse nunca cuando se maximiza la utilidad. A continuación, puede pasar a examinar los dos bienes en los que puede darse el consumo 0, y comparar su tasa marginal de sustitución con su relación de precios. Siempre que éstas sean desiguales en el óptimo, señala una solución de esquina.