Mecanismo AGV y racionalidad individual

Question

Tengo la siguiente pregunta. Considero que el mecanismo del AGV es el siguiente: $u_i(x,\theta_i) = v_i(k,\theta_i) + t_i $ es una función de utilidad donde $x = (k,t_1,...,t_n)$ vector de alternativas. Hay N agentes. Elegimos $k^*$ tal que $\sum v_i(k^*(\theta) ,\theta_i) \ge \sum v_i(k^*,\theta_i) $ y tomar $$t_i(\theta) = E_{\tilde{\theta}_{-i}}\Big[ \sum_{i \neq j}v_j(k^*(\theta_i,\tilde{\theta}_{-i}),\tilde{\theta}_j)\Big] + h_i(\theta_{-i}) = \xi_i(\theta_i) + h_i(\theta_{-i}). $$ También definimos $$h_i(\theta_{-i}) = - \frac{1}{N-1} \sum_{i\neq j}\xi_j(\theta_j)$$

Ahora quiero comprobar si es cierto o no que este mecanismo satisface la racionalidad individual ex post. Hay algunas fuentes que afirman que el mecanismo AGV viola la RI ex post pero satisface la RI ex ante.

La RI a posteriori es la siguiente propiedad: Mecanismo $\phi$ satisface el IR a posteriori si $\forall \ \theta, \forall \ i $ que tenemos: $v_i(k;\theta_i)+t_i\ge 0$ .

Así que aquí tenemos: $$v_i(k;\theta_i) + \xi_i(\theta_i) \ge \frac{1}{N-1}\sum_{j\neq i} \xi_j(\theta_j)$$ En general, ahora hay razones para que esta desigualdad se mantenga. Pero, ¿cuál podría ser un ejemplo de que se viola esta desigualdad?

Answer 1

El ejemplo más sencillo que he podido cocinar. Puede que haya metido la pata en alguna parte.

Consideremos la provisión de un bien público con dos agentes, $n=2$ . Sea el espacio de tipos tal que $\theta \in \{0,1\}$ y ambos tipos son igualmente probables. O bien se proporciona el bien, $k=1$ y el coste total $c=2/3$ se produce, o el bien no se proporciona, $k=0$ que no tiene coste alguno. Sea $$v_i (k; \theta_i) = k (\theta_i - \frac{c}{2}).$$ Es decir, o no se proporciona el bien y nadie paga o se proporciona y ambos comparten el coste. Por supuesto, se pueden utilizar transferencias para compensar. Es eficiente proporcionar si al menos un agente valora el bien, es decir, tiene un tipo de 1. El AGV conduce a esta regla eficiente $k^* (1,1)=k^* (0,1)=k^* (1,0)=1$ y $k^* (0,0)=0$ .

Entonces, $$\xi_i (1) = \frac{1}{2} \left( v_j(k^*(1,0);0) + v_j(k^*(1,1);1) \right) = \frac{1}{2} (0+1 - c) = \frac{1}{6},$$ $$\xi_i (0) = \frac{1}{2} \left( v_j(k^*(0,0);0) + v_j(k^*(0,1);1) \right) = \frac{1}{2} (0+1- c/2) = \frac{1}{3},$$

Ahora, supongamos que $(\theta_i,\theta_j)=(0,1)$ . Entonces, $$v_i(1;0)+\xi_i(0) = 0 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}= 0 < \xi_j (1) = \frac{1}{6}.$$ Así que, en ese caso, no tenemos CI a posteriori.