El precio de la opción es $$C_0=E\left[e^{-\int_{0}^{T}{r_sds}} \left(S_T^2-K\right)^+\right]$$ donde $r$ es el tipo libre de riesgo, $E$ es la expectativa bajo la medida de riesgo neutral.
Definir el proceso $U_t=S_t^2$ y aplicar el lema de Ito $$dU_t=2S_tdS_t+d<S_t,S_t>$$
La hipótesis de Black-scholes implica que el proceso $r$ es constante y el proceso $S_t$ sigue : $$dS_t=rS_tdt+\sigma S_t dW_t$$
Por lo tanto, $$dU_t=2rS_t^2dt+2\sigma S_t^2 dW_t+\sigma^2S_t^2dt$$ $$dU_t=(2r+\sigma^2)U_tdt+2\sigma U_t dW_t$$
Definimos $$\bar{r}=2r+\sigma$$ $$\bar{\sigma}=2 \sigma$$
Por último, tenemos
$$dU_t=\bar{r}U_tdt+\bar{\sigma} U_t dW_t$$
y el precio de la opción es $$C_0=E\left[e^{-\int_{0}^{T}{r_sds}} \left(U_T-K\right)^+\right]$$
Puede utilizar su fórmula Black-Scholes para el proceso $U_t$ y obtener la fórmula de la opción.
EDITAR :: ¿Por qué utilizamos el forward? La razón es que el subyacente a plazo suele definirse de forma que es una martingala bajo su medida natural, por lo que sólo tenemos que definir su volatilidad. Partamos de la primera ecuación, y supongamos que la tasa es estocástica.
El precio de la opción es $$C_0=E\left[e^{-\int_{0}^{T}{r_sds}} \left(S_T^2-K\right)^+\right]$$
Presentación del bono de cupón cero $$P(t,T)=E\left[e^{-\int_{t}^{T}{r_sds}} |\mathcal{F_t}\right]$$ . $\mathcal{F}$ es la filtración del mercado.
Podemos fijar el precio de la opción como $$C_0=P(0,T)E^T\left[ \left(S_T^2-K\right)^+\right]$$
donde $E^T$ es la expectativa bajo la medida asociada al bono (llamada medida T-forward).
Definamos la función de avance como $$F_T(t)=E^T\left[S_T | \mathcal{F_t}\right]$$ ,
Obviamente $F_T(T)=S_T$ y $F_T(t)$ es una martingala bajo la $T$ -por construcción (es una expectativa condicional).
El precio de la opción pasa a ser : $$C_0=P(0,T)E^T\left[ \left(F_T(T)^2-K\right)^+\right]$$
Hasta ahora, como puedes ver, no he introducido ningún modelo, y dentro de los términos de expectativa, sólo tenemos una variable aleatoria, y es una martingala. Es por esto que el uso del subyacente a futuro es muy poderoso. Podemos seguir, supongamos que el subyacente delantero es un movimiento browniano geométrico $$dF_T(t)=\sigma F_T(t)dW_t$$ donde $W$ es un movimiento browniano bajo la $T$ -Medida de avance. o $$F_T(T)=F_T(0)e^{-\frac{1}{2}\sigma^2T+\sigma W_T}$$ Puede terminar la prueba utilizando Black-Scholes con $r=0$
Tenemos el precio de la opción sin suponer que el tipo es determinista/constante. En el mundo de los tipos, donde los tipos son estocásticos, debemos trabajar con subyacentes a plazo para evitar tener un pago complejo. En el mundo de Black-Scholes, puedo entender que introducir el forward parezca irrelevante. Por cierto, Mark Joshi (RIP) era un quant de tipos, eso puede explicar por qué lo hizo.
Ahora, tenemos que calcular $F_T(0)$
$$F_T(0)=E^T\left[S_T \right]=E^T\left[\frac{S_T}{P(T,T)}\right]=\frac{S_0}{P(0,T)}$$
Finalmente, si se asume que la tasa es constante, tenemos $$P(0,T)=e^{-rT}$$
