Velocidad de convergencia de la producción en la senda de crecimiento equilibrado

Question

Descubra la rapidez con la que $y$ converge a $y^*$ en las proximidades de la senda de crecimiento equilibrado $$ y=Y/AL=f(k); \; y^*=f(k^*) $$ Sugieren la pista, escriben $k=g(y)$ , donde $g(\bullet)=f^{-1}(\bullet)$ .)

$Y$ es la salida del producto; $AL$ es el trabajo efectivo; $K$ es mayúscula; las minúsculas se dividen por $AL$ (por ejemplo $y=Y/AL$ ); $k^*$ es la senda de crecimiento equilibrado del capital.

Este es el problema $1.11$ en Advanced Macro de Romer. He probado a mirar Teorema de inversión de Lagrange y aplicando lo anterior obtenemos la serie de Taylor de primer orden centrada en $k^*$

$$ \displaystyle g(y) = k^* + \lim_{k \to k^*} \left( \frac{y-f(k^*)}{1!} \right) \frac{d^0}{dw^0} \left( \frac{k-k^*}{f(k)-f(k^*)} \right) $$

pero como $y=f(k)$ y la derivada cero es la propia función, obtenemos la siguiente cancelación:

$$ = k^* + \lim_{k \to k^*} \frac{f(k)-f(k^*)}{f(k)-f(k^*)}(k-k^*) $$

$$ = k^* + \lim_{k \to k^*}(k - k^*) = k^* $$

Lo cual no nos dice nada... ¿Necesitamos mirar la derivada de segundo orden?

Answer 1

De acuerdo, en el libro se analizaba la serie Taylor de primer orden de $\dot{k}$ Así que, como dijo @denesp, ¡también necesitamos el tiempo aquí! Así que más bien aquí debemos mirar la serie taylor alrededor $\dot{y}$

$$ \displaystyle \dot{y}(y) \simeq \left[ \frac{\partial \dot{y}(y)}{\partial y(k)} \bigg|_{y=y^*} \right] (y(k) - y(k^*)) $$

$$ \frac{\partial \dot{y}(y)}{\partial y(k)} \bigg|_{y=y^*} = \left( \frac{\partial \dot{y}(y)}{\partial k(t)} \bigg|_{y=y^*} \right) \left( \frac{\partial k(t)}{\partial y(k)} \bigg|_{k=k^*} \right) $$

Primero miramos:

$$ y=f(k) $$

$$\Rightarrow \dot{y} = \frac{d}{dt} f(k) = \frac{d f}{d k} \frac{dk}{dt} = f'(k) \dot{k} $$

Sabemos que la ecuación clave del modelo de Solow es:

$$ \dot{k}(t) = s f(k(t)) - (n+g+\delta)k(t) $$

$$ \Rightarrow \dot{y} = f'(k) \left[ s f(k(t)) - (n+g+\delta)k(t) \right] $$

Tomamos la derivada de esto con respecto al capital:

$$ \frac{\partial \dot{y}}{\partial k} = f''(k)\left[ s f(k(t)) - (n+g+\delta)k(t) \right] + f'(k) \left[ s f'(k) - (n+g+\delta) \right]$$

El valor $k^*$ es el regla de oro nivel del stock de capital así:

$$ s f(k^*) = (n+g+\delta)k^* $$

Y por lo tanto

$$ \left( \frac{\partial \dot{y}}{\partial k} \bigg|_{y=y^*} \right) = f''(k^*)*(0) + f'(k^*)\left[ s f'(k^*) - (n+g+\delta) \right] $$

A continuación utilizamos la pista (no es una gran pista, y es bastante engañosa para empezar en mi opinión)

$$ \left( \frac{\partial k(y)}{\partial y(t)} \bigg|_{k=k^*} \right) = \left( \frac{\partial y(k)}{\partial k(t)} \bigg|_{y=y^*} \right)^{-1} = f'(k^*)^{-1} = g'(y^*) $$

Introduciendo ambos en nuestra derivada parcial de primer orden:

$$ \frac{\partial \dot{y}(y)}{\partial y(k)} \bigg|_{y=y^*} = \left( f'(k^*)\left[ s f'(k^*) - (n+g+\delta) \right] \right) * \left( f'(k^*)^{-1} \right) $$

$$ = s f'(k^*) - (n+g+\delta) $$

ya que en torno a la senda de crecimiento equilibrado $s = (n+g+\delta)k^*/f(k^*)$ y poniendo

$$ - \frac{\partial \dot{y}(y)}{\partial y(k)} \bigg|_{y=y^*} = \lambda $$

$$ \lambda = (n+g+\delta) - \frac{(n+g+\delta)(k^*)*f'(k^*)}{f(k^*)} $$

Con $\alpha_k = \frac{k*f'(k)}{f(k)} $ siendo la elasticidad de la producción con respecto al capital obtenemos:

$$ \lambda = (n+g+\delta)(1-\alpha_k(k^*)) $$

Así que $y$ converge a su tasa de valor de la trayectoria de crecimiento equilibrado $\lambda$ lo mismo que $k$ converge a $k^*$

Answer 2

Creo que hay una forma más rápida de hacerlo. Por el teorema de la función inversa, tenemos

$$y = f(k) \implies k = f^{-1}(y) = f^{-1}[f(k)] \implies \frac {\partial f^{-1}(y)}{\partial y} = \frac {1}{f'(k)}$$

Teniendo en cuenta todas estas relaciones, también tenemos

$$\dot y = f'(k)\cdot \big[sf(k) - (n+g+\delta)\cdot f^{-1}(y)\big]$$

$$\implies \frac{\partial \dot y}{\partial y} \bigg|_{y=y^*} = \frac {\partial f'(k^*)}{\partial y}\cdot \big[sf(k^*) - (n+g+\delta)\cdot k^*\big]\\ + f'(k^*)\cdot \left[s - (n+g+\delta)\cdot \frac {1}{f'(k^*)} \right]$$

$$\implies \frac{\partial \dot y}{\partial y} \bigg|_{y=y^*} = 0 + sf'(k^*) - (n+g+\delta)$$

etc.