Comprobar si un proceso (sin deriva) es una martingala

Question

Considere el proceso $$Z(t)=\int_{0}^{t} \frac{u^a}{t^a}dW_u$$ para alguna constante real $a$ y $W_t$ es un proceso de salchicha. Quiero comprobar si este proceso es un $F_t^W$ -martingale. Me he fijado en el Lemma 4.9 del libro de Bjork que dice lo siguiente:

para $g\in L^2$ y $X_t$ definido como $$X_t=\int_{0}^{t} g(u) dW_u$$ es un $F_t^W$ -martingale.

Si dejamos que $g(z,t)=z^at^{-a}$ Podemos entonces utilizar el lema para concluir que $Z(t)=\int_{0}^{t} g(u,t)dW_u$ es $F_t^W$ -¿martingale?

Y eso me lleva a otra pregunta: ¿Cómo puedo comprobar si una función $g \in L^2$

Con Bjork me refiero al libro de texto Bjork, Arbitrage Theory in Continous Time Finance (3ª edición)

Answer 1

El lema del libro de Bjoerk sólo es válido para funciones $g(u)$ no para la función $g(u,t)$ .

Lo que puedes hacer en su lugar es utilizar la fórmula de Ito. Primero empecemos con el proceso

$$ X_t = \int_{0}^t u^a \; dW_u. $$

Este proceso se puede escribir en forma diferencial como $$ dX_t = t^a dW_t. $$

Ahora queremos derivar la forma diferencial de $Z_t = \frac 1 {t^a}X_t$ . Por lo tanto, podemos utilizar la fórmula de Ito con $f(t,x) = \frac 1 {t^a}x$ : $$ dZ_t = df(t,X_t) = f_t(t,X_t)dt + f_x(t,X_t)dX_t + \frac 12 f_{xx}(t,X_t) d[X]_t $$ Aquí $f_t$ resp. $f_x$ es la derivada parcial de $f$ con respecto a $t$ resp. $x$ y $f_{xx}$ es la segunda derivada parcial de $f$ con respecto a $x$ . Tenga en cuenta que tenemos $f_{xx}(t,x) = 0$ , tal que la forma diferencial de $Z$ puede simplificarse a $$ dZ_t = - \frac a {t^{a+1}}X_t dt + \frac{1}{t^a} t^a dW_t = - \frac at Z_t dt + dW_t. $$ Para que un proceso Ito sea una martingala (local) la parte de la deriva tiene que ser igual a cero. Por lo tanto, $Z_t$ es una martingala si y sólo si $a = 0$ en cuyo caso $Z_t = W_t$ .