Sé que la TMS es independiente de los precios y compara la relación de bienes que el consumidor cambiará un bien por otro. Pero, ¿la tasa marginal de sustitución se ve afectada por el consumo de esos bienes o no? Parece trivial pero no consigo entenderlo.
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WMR
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Las diferentes preferencias de los consumidores darán lugar a diferentes propiedades de la disposición del consumidor a cambiar un bien por otro.
Por ejemplo, supongamos que las preferencias de los consumidores son lineales en el consumo de cualquiera de los dos bienes: $U=\beta_x x + \beta_y y$ donde $\beta_x$ , $\beta_y$ son constantes positivas
La utilidad marginal de $x$ sería $\beta_x$ y la utilidad marginal de $y$ sería $\beta_y$ y el MRS sería $\frac{\beta_x}{\beta_y}$ , también una constante. Esto nos dice que el consumidor estaría dispuesto a intercambiar entre $x$ y $y$ a un ritmo constante.
Una alternativa sería que el consumo de cada bien entrara en la utilidad de forma multiplicativa (Cobb Douglas), por ejemplo $U=xy$ . La utilidad marginal de $x$ sería $y$ y la utilidad marginal de $y$ sería $x$ y así el MRS sería $\frac{y}{x}$ que, efectivamente, dependerá del consumo. En este ejemplo, el MRS disminuye a medida que el consumo de $x$ sube. A medida que el consumidor disfruta de más $x$ está dispuesto a ceder cada vez menos $y$ para otra unidad de $x$ .
Así que no es del todo trivial que el MRS dependa del consumo, si lo hace o no depende de cómo se modelen las preferencias de los consumidores.
Greg
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348
Depende. Hessian da una buena respuesta, pero creo que podemos decir algo más.
Una función de utilidad $u(x)$ asigna a cada paquete de bienes $x=(x_1,\ldots,x_n)$ un número real. A lo largo de una curva de indiferencia, tenemos \begin{equation}u(x)=u_0\tag{1}\end{equation} para alguna constante real $u_0$ . Ahora, la tasa marginal de sustitución $MRS_{ij}$ del bien $i$ para bien $j$ existe en un punto determinado $x$ siempre que $u_i(x)\neq 0$ porque entonces el teorema de la función implícita implica que $(1)$ define implícitamente una función $f^i$ tal que $x_i=f^i(x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_n)$ y que tenemos $$u(x_1,\ldots,x_{i-1},f^i(x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_n),x_{i+1},\ldots,x_n)=u_0.\tag{2}$$ Diferenciando $(2)$ con respecto a $x_j$ donde $j\neq i$ nos da $$-\frac{\partial f^i}{\partial x_j}\Big|_{u\text{ constant at }u_0}=\frac{u_i(x)}{u_j(x)}=MRS_{ij}.\tag{3}$$ Obsérvese que las derivadas parciales $u_i(x)$ y $u_j(x)$ dependen del conjunto de bienes $x$ por lo que es lógicamente posible que $MRS_{ij}$ varía con $x$ .
Si $MRS_{ij}$ no varía con $x_j$ y por lo tanto es constante con respecto a $x_j$ a cierto nivel $k$ se deduce de $(3)$ por integración con respecto a $x_j$ en ambos lados que $$f^i(x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_n)=-kx_j+m$$ para alguna constante real $m$ independiente de $x_j$ . Así, en este caso, la curva de indiferencia en $(x_i,x_j)$ -el espacio es una línea recta.
