¿Cómo puedo demostrar que una función de utilidad satisface (o no) la MRS decreciente?

Question

Tengo esta función de utilidad CES:

$$U(f, c) = (f^\alpha + c^\alpha)^{1/\alpha},$$

con $\alpha > 0$ .

El conjunto de problemas pregunta si "satisface el principio de la tasa marginal de sustitución decreciente para cualquier valor de $\alpha$ ".

A lo que la respuesta es "Falso, si $\alpha > 1$ las curvas de indiferencia son cóncavas, por lo que no satisfacen el principio de disminución de la MRS"

Pero a falta de graficar las curvas de indiferencia y esperar que sea visualmente obvio, no estoy seguro de cómo decir esto.

¿Cómo se puede saber a partir de una función de utilidad si es o no cóncava?

Answer 1

Si recuerdas, en una curva bidimensional, su concavidad o convexidad (la inclinación de su pendiente) viene dada por la segunda derivada. En el caso de una función tridimensional, hay que mirar la Mesa Hessian (la tabla de todas las segundas derivadas).

Si el hessiano es negativo definido para todos los valores, la función es estrictamente cóncava, y si el hessiano es positivo definido para todos los valores, la función es estrictamente convexa. Si el hessiano no es semidefinido negativo para todos los valores, la función no es cóncava y, por tanto, no es estrictamente cóncava. Y así sucesivamente.

Esta función en particular será un poco más complicada para encontrar segundas derivadas, supongo.

Hay varios ejemplos que se muestran en un sitio web muy bonito aquí .

Incluso hay un ejemplo de Cobb-Douglas, que estoy seguro de que encontrará valioso.