¿Cómo calcular el valor de Shapley con incertidumbre?

Question

Así que estoy tratando de estimar un Valor de Shapley en un juego con resultados inciertos. En concreto, imaginemos un juego en el que la función de pago es la siguiente

(A) = 1 
(B) = 2
(B,C) = 4

Por ejemplo, se puede imaginar que este juego representa a la Persona A y a la Persona B decidiendo si se dedican a los negocios solos o juntos.

El cálculo del valor de Shapley para este juego es muy sencillo, ya que se enumeran todas las permutaciones junto con la contribución marginal de cada persona en la permutación dada dividida por el número de permutaciones:

[A, B] = [1, 3]
[B, A] = [2, 2]

[A, B] = [(1+2)/2, (3+2)/2] 
[A, B] = [1.5, 2.5]

Así que la persona A debería recibir \$1.5 and Person B should get \$ 2,5 en la gran coalición.

Sin embargo, me cuesta saber cómo calcular el valor de Shapley en presencia de la incertidumbre. Por ejemplo, imagine que cambio la función de pago para utilizar intervalos de confianza de la siguiente manera:

(A) = 1 ± 0.2
(B) = 2 ± 0.6
(B,C) = 4 ± 0.5

Esto es importante ya que estoy intentando calcular el valor de Shapley en un entorno real con datos experimentales.

¿Cuál será el valor de Shapley en este caso CON incertidumbre?

Answer 1

Parece que tienes una función de pérdida cuadrática, pero estoy adivinando un poco. Si los jugadores han jugado lo suficiente como para tener experiencia en el funcionamiento del juego, entonces simplemente utilizaría la recompensa media de la muestra como punto de cálculo.

Deberías leer la teoría de las funciones de pérdida. Los jugadores están haciendo estimaciones, ciertos tipos de estimaciones son la minimización natural de ciertas funciones de pérdida. La mayoría de los comportamientos de tipo de juego resultan de la pérdida cuadrática, aunque hay excepciones particulares. El centro de localización de los valores de renta variable es la moda porque no puede existir una rentabilidad media. Los comportamientos de los valores de renta variable deben ser el resultado de una función de pérdida de todo o nada. Los médicos son otro ejemplo en el que existe una pérdida asimétrica.

Si un médico no le diagnostica una enfermedad, entonces pierde los ingresos del tratamiento y se enfrenta a demandas por negligencia. Si le diagnostican erróneamente una enfermedad, pero no es así, siguen cobrando la factura médica y no se enfrentan a reclamaciones por mala praxis, especialmente si no revelan que se trata de un diagnóstico erróneo. Un diagnóstico es una forma de apuesta.

Observe las pérdidas experimentadas por no adoptar un determinado tipo de comportamiento.

Answer 2

He hablado con un amigo economista y parece que la mejor manera de conseguir lo que busco es estimar por bootstrap el valor de Shapley.

Por ejemplo, muestrear aleatoriamente con reemplazo mis datos experimentales 1.000 veces, calcular el valor de Shapley con cada muestra y luego promediar esos cálculos. Y en ese momento, no es difícil construir un intervalo de confianza utilizando los percentiles del 5% y del 95% de los cálculos.

Puede que no sea la forma más correcta desde el punto de vista teórico, pero me da precisamente lo que busco, es decir, intervalos de confianza en el calculado Valor de Shapley. Excepto que, por cierto, no me importan los intervalos de confianza de los puntos de datos en sí.