¿Cómo escribir rápidamente el problema de optimización de la utilidad para una función Cobb-Douglas?

Question

En mi último conjunto de problemas, tuve que resolver tanto el Problema de Maximización de la Utilidad (PMU) como el Problema de Minimización del Gasto (PEM) para una función de utilidad Cobb Douglas. Recordemos que Cobb Douglas se define como $$U(x,y) = x^\alpha y^\beta$$

Puedo calcular el EMP o el UMP. Luego puedo encontrar el otro por "dualidad". Pero escribir el problema fue muy tedioso y desordenado. Terminé con una función de utilidad indirecta como esta

$$v(p_x,p_y,m) = \left(\frac{\alpha m}{p_x}\right)^\alpha \left( \frac{\beta m }{p_y}\right)^\beta$$

y hacer el Lagrangiano era un poco torpe con toda esta multiplicación.

¿Existe una forma más sencilla de escribir el problema que me ahorre tiempo/esfuerzo?

Answer 1

Bueno todos los Cobb-Douglas tienen una estructura, es la utilidad que hace que las acciones sean constantes como las acciones de presupuesto independientes de los precios $p_{l}x^{CD}_{l}(p,w)/w=\alpha_{l}$ con $u^{CD}(x)=\sum_{l}\alpha_{l}log(x_{l})$ y $\sum_{l}\alpha_{l}=1$ . entonces puedes volver a calcular $x_l(p,w)$ Con esto la utilidad indirecta, luego invertir para obtener el gasto y luego derivar para obtener la hicksiana. No estoy seguro si esto es lo que quieres pero algunas funciones de utilidad tienen una propiedad definitoria, lo mismo con la leontief o la CES.

Answer 2

Se trata de un enfoque genérico (encontrar una transformación que facilite el trabajo con el problema de la utilidad.

Supongamos que un hogar tiene una utilidad $$U(x,y) = x^\alpha y^\beta$$ .

Una función de utilidad es una forma conveniente de representar las preferencias. Sin embargo, hemos visto en el capítulo que las funciones de utilidad tienen muchas limitaciones. Una de ellas es que, aunque las funciones de utilidad nos dicen nos dicen mucho sobre las clasificaciones ordinales de los bienes, no revelan nada sobre clasificación cardinal. En otras palabras, sabemos qué prefiere un consumidor pero no la fuerza de esa preferencia. Por ello, podemos podemos desplazar, estirar o comprimir la función de utilidad en cualquier forma siempre que no cambiemos el orden de las preferencias sobre los paquetes, y seguiremos teniendo la misma la misma representación de la utilidad relativa de los bienes.

Microeconomía de Austan Goolsbee, Steven Levitt y Chad Syverson

Tomaremos el logaritmo de esta función de utilidad porque es una transformación monótona positiva. Dará las mismas relaciones de preferencia, por lo que podemos calcular las mismas funciones de demanda.

$$u(x,y) = \log (U(x,y)) = \alpha \log (x) + \beta \log(y) $$ .

Reescribamos la función de optimización $$ \max_{s.t. x p_x + y p_y = m} \alpha \log (x) + \beta \log(y) $$

Lo que me parece más fácil de entender como un lagrangiano.

$$ \max \alpha \log (x) + \beta \log(y) - \lambda (x p_x + y p_y - m) $$

$$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\alpha}{x} -\lambda p_x = 0$$

$$ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\beta}{y} -\lambda p_y = 0$$

$ \Rightarrow \frac{\alpha}{x p_x} = \lambda $ y $ \frac{\beta}{y p_y} = \lambda $

$ \Rightarrow \frac{\alpha}{x p_x} = \frac{\beta}{y p_y}$ $ \Rightarrow y = \frac{\beta x p_x}{\alpha p_y}$

A continuación, utilice la ecuación presupuestaria:

$$m = x p_x + y p_y = x p_x + \frac{\beta x p_x}{\alpha p_y} p_y$$ $$ \Rightarrow m = x p_x + \frac{\beta x p_x}{\alpha} = x p_x(1 + \frac{1}{\alpha})$$ $$ \Rightarrow x^* = \frac{m}{p_x(1 + \frac{1}{\alpha})}$$ $$ \Rightarrow y^* = \frac{\beta x^* p_x}{\alpha p_y} = \frac{\beta \frac{m}{p_x(1 + \frac{1}{\alpha})} p_x}{\alpha p_y} = \frac{\beta \frac{m}{(\alpha + 1)} }{ p_y} $$

Tenga en cuenta que $ \frac{x p_x}{m}$ es constante y función de las preferencias del hogar pero no de los precios relativos. Este es el famoso resultado de la cuota presupuestaria constante de las preferencias de Cobb Douglas.

Hay otro enfoque que es específico de Cobb-Douglas.

Obsérvese que si la función de utilidad es $U(x,y) = x^\alpha y^\beta$ entonces las funciones de utilidad marginal son: $$ U_x = \alpha x^{\alpha-1} y ^{\beta} = \alpha \frac{U}{x}$$ $$ U_y = \alpha x^{\alpha} y ^{\beta - 1} = \beta\frac{U}{y}$$ Lo que significa que la condición de primer orden con el Lagrangiano es

$$ \frac{\partial U}{\partial x} = \alpha \frac{U}{x}$ -\lambda p_x = 0$$ $$ \frac{\partial U}{\partial y} = \beta\frac{U}{y} -\lambda p_y = 0$$ Lo que implica:

$$\beta\frac{U}{y p_y} = \alpha \frac{U}{x p_x} \Rightarrow \beta\frac{x p_x}{\alpha p_y} = y$$

Que es exactamente lo que obtuvimos haciéndolo de la primera manera y dará el mismo $x^*$ y $y^*$ .